Exercício 12 - Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{2}+7 x+5}{x^{3}+2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^{2}+7x+5}{x^{3}+2x+1}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2x^{2}+7x+5.
  • Denominador: x^{3}+2x+1.
  • A aproximação é quando x tende a -\infty (ou seja, x fica muito negativo).
    O que se pede: o valor numérico desse limite.

Passo 2

Idea básica (explicação didática): para funções racionais (frações de polinômios), o comportamento quando x\to\pm\infty é dominado pelos termos de maior grau dos polinômios. Aqui o maior grau do numerador é 2 e do denominador é 3. Uma maneira rigorosa de usar essa ideia é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador — neste caso por x^{3}. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos:
\frac{2x^{2}+7x+5}{x^{3}+2x+1} = \frac{\dfrac{2x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{7x}{x^{3}}+\dfrac{5}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Agora simplifico cada termo, lembrando que \dfrac{x^{k}}{x^{3}}=x^{\,k-3}:
\frac{2x^{2}+7x+5}{x^{3}+2x+1} = \frac{2x^{-1}+7x^{-2}+5x^{-3}}{1+2x^{-2}+x^{-3}}.

Passo 4

Análise dos termos quando x\to -\infty: para qualquer inteiro m>0 vale \lim_{x\to -\infty} x^{-m}=0. Em particular,
\lim_{x\to -\infty} 2x^{-1}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty} 7x^{-2}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty} 5x^{-3}=0,
e também
\lim_{x\to -\infty} 2x^{-2}=0,\qquad \lim_{x\to -\infty} x^{-3}=0.
Portanto o numerador da fração transformada tende a 0+0+0=0 e o denominador tende a 1+0+0=1.

Passo 5

Conclusão do cálculo do limite: tomando limites no numerador e denominador,
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x^{-1}+7x^{-2}+5x^{-3}}{1+2x^{-2}+x^{-3}} = \frac{0}{1}=0.
Logo o limite pedido é 0.

Passo 6

Interpretação curta e exemplos úteis para a prova:
  • Regra prática: se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite quando x\to\pm\infty é 0.
  • Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador é maior, o limite é \pm\infty (o sinal depende dos sinais dominantes quando x\to\pm\infty).
    Exemplos rápidos:
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+1}{x^{2}-5}=3,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{x^{4}}{x^{2}+1}=+\infty.
Força aí — essa técnica de dividir pela maior potência é super útil e rápida na prova.

Resposta

0

Exercícios relacionados