Exercício 12 - Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor do limite
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A aproximação é quando
tende a (ou seja, fica muito negativo).
O que se pede: o valor numérico desse limite.
Passo 2
Idea básica (explicação didática): para funções racionais (frações de polinômios), o comportamento quando
é dominado pelos termos de maior grau dos polinômios. Aqui o maior grau do numerador é
e do denominador é
. Uma maneira rigorosa de usar essa ideia é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador — neste caso por
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos:
Agora simplifico cada termo, lembrando que
:
Passo 4
Análise dos termos quando
: para qualquer inteiro
vale
. Em particular,
e também
Portanto o numerador da fração transformada tende a
e o denominador tende a
.
Passo 5
Conclusão do cálculo do limite: tomando limites no numerador e denominador,
Logo o limite pedido é
.
Passo 6
Interpretação curta e exemplos úteis para a prova:
- Regra prática: se o grau do numerador é menor que o grau do denominador, o limite quando
é . - Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador é maior, o limite é
(o sinal depende dos sinais dominantes quando ).
Exemplos rápidos:
Força aí — essa técnica de dividir pela maior potência é super útil e rápida na prova.