Exercício 10 - Determine se existe
\lim _{x \rightarrow 0} x \sqrt{\frac{1}{4 x^{2}}-16}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se existe
\lim_{x\to 0} x \sqrt{\frac{1}{4x^{2}}-16}.
Informações dadas:
  • A função a avaliar é x \mapsto x \sqrt{\dfrac{1}{4x^{2}}-16}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Preciso verificar se o limite existe (ou seja, se os limites laterais coincidem) e, se possível, calcular esses limites.

Passo 2

Verificar para quais x a expressão está definida (domínio próximo de 0).
A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo:
\frac{1}{4x^{2}}-16 \ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo. Multiplicando por 4x^{2} (positivo para x\neq0) obtemos
1 - 64x^{2} \ge 0.
Isso é equivalente a
64x^{2} \le 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} \le \frac{1}{64}.
Portanto
|x| \le \frac{1}{8}.
Além disso, x=0 não é permitido porque aparece x^{2} no denominador dentro da raiz; a expressão não está definida em x=0. Conclusão: a expressão está definida para 0<|x|\le\frac{1}{8}, então é legítimo estudar o limite quando x\to0 aproximando-se por valores dentro de (-1/8,1/8)\setminus\{0\}.

Passo 3

Fazer uma simplificação algébrica útil do radicando:
\frac{1}{4x^{2}}-16=\frac{1-64x^{2}}{4x^{2}}.
Tomando raiz quadrada (para x\neq0\)): \[\sqrt{\frac{1}{4x^{2}}-16}=\sqrt{\frac{1-64x^{2}}{4x^{2}}} =\frac{\sqrt{1-64x^{2}}}{\sqrt{4x^{2}}}.
Aqui é importante lembrar a identidade: para todo t, \sqrt{t^{2}}=|t|. Aplicando-a a \sqrt{4x^{2}} temos \sqrt{4x^{2}}=2|x|. Assim
\sqrt{\frac{1}{4x^{2}}-16}=\frac{\sqrt{1-64x^{2}}}{2|x|}.
Comentário rápido sobre |x|: |x|=\begin{cases}x,& x\ge0,\\\\ -x,& x<0.\end{cases}\] Isso vai introduzir a dependência do sinal de \(x no resultado.

Passo 4

Substituir essa forma na expressão original (para x\neq0):
x \sqrt{\frac{1}{4x^{2}}-16} = x\cdot \frac{\sqrt{1-64x^{2}}}{2|x|} = \frac{x}{|x|}\cdot \frac{\sqrt{1-64x^{2}}}{2}.
A fração \dfrac{x}{|x|} é a função sinal (denotada \operatorname{sgn}(x)), que vale 1 se x>0 e -1 se x<0. Assim a expressão fica
\frac{x}{|x|}\cdot \frac{\sqrt{1-64x^{2}}}{2} =\operatorname{sgn}(x)\cdot \frac{\sqrt{1-64x^{2}}}{2}.

Passo 5

Calcular os limites laterais a 0.
  • Limite pela direita ( x\to0^{+}): quando x>0 temos \dfrac{x}{|x|}=1. Além disso \sqrt{1-64x^{2}}\to\sqrt{1}=1 quando x\to0. Logo
\lim_{x\to 0^{+}} x \sqrt{\frac{1}{4x^{2}}-16} = 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Limite pela esquerda ( x\to0^{-}): quando x<0 temos \dfrac{x}{|x|}=-1. Novamente \sqrt{1-64x^{2}}\to1. Portanto
\lim_{x\to 0^{-}} x \sqrt{\frac{1}{4x^{2}}-16} = -1\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Concluir sobre a existência do limite: os limites laterais são diferentes ( \tfrac{1}{2} pela direita e -\tfrac{1}{2} pela esquerda). Assim o limite bilateral não existe.
Dica final rápida (estudando para a prova): quando aparecer uma raiz com x^{2} no denominador, é muito comum surgir um valor absoluto após simplificar a raiz; isso frequentemente produz uma dependência de sinal que gera limites laterais distintos. Fica de olho no passo \sqrt{x^{2}}=|x|!

Resposta

O limite não existe.\quad \displaystyle \lim_{x\to0^+}= \tfrac{1}{2},\\ \displaystyle \lim_{x\to0^-}= -\tfrac{1}{2}.

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