Exercício 10 - Determine se existe
Passo 1
O enunciado pede para determinar se existe
Informações dadas:
- A função a avaliar é
. - O ponto de interesse é
. - Preciso verificar se o limite existe (ou seja, se os limites laterais coincidem) e, se possível, calcular esses limites.
Passo 2
Verificar para quais
a expressão está definida (domínio próximo de
).
A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo:
A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo:
Vou resolver essa desigualdade passo a passo. Multiplicando por
(positivo para
) obtemos
Isso é equivalente a
Portanto
Além disso,
não é permitido porque aparece
no denominador dentro da raiz; a expressão não está definida em
. Conclusão: a expressão está definida para
, então é legítimo estudar o limite quando
aproximando-se por valores dentro de
.
Passo 3
Fazer uma simplificação algébrica útil do radicando:
Tomando raiz quadrada (para
Aqui é importante lembrar a identidade: para todo
,
. Aplicando-a a
temos
. Assim
Comentário rápido sobre
:
no resultado.
Passo 4
Substituir essa forma na expressão original (para
):
A fração
é a função sinal (denotada
), que vale
se
e
se
. Assim a expressão fica
Passo 5
Calcular os limites laterais a
.
- Limite pela direita (
): quando temos . Além disso quando . Logo
- Limite pela esquerda (
): quando temos . Novamente . Portanto
Passo 6
Concluir sobre a existência do limite: os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda). Assim o limite bilateral não existe.
Dica final rápida (estudando para a prova): quando aparecer uma raiz com
no denominador, é muito comum surgir um valor absoluto após simplificar a raiz; isso frequentemente produz uma dependência de sinal que gera limites laterais distintos. Fica de olho no passo
!
Resposta
O limite não existe.\quad