Exercício 14 - Se
Passo 1
O enunciado dá a seguinte igualdade envolvendo um limite quando
:
O que se pede implicitamente é encontrar o valor do parâmetro
que faz essa igualdade ser verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão cuja limite precisamos analisar é
. - O limite dessa expressão, quando
, deve ser .
Passo 2
Analisar o comportamento da fração racional para
. Vamos dividir polinômio por polinômio (divisão euclidiana):
Dividindo
por
:
- Primeiro termo do quociente:
, porque .
Multiplicando o divisor porobtemos .
Subtraindo do numerador sobra: - Segundo termo do quociente:
, porque .
Multiplicando o divisor porobtemos .
Subtraindo, o resto fica
Logo a divisão dá
Agora observe que o numerador do quociente do resto tem grau
e o denominador tem grau
. Portanto, quando
,
Usando a notação de termos pequenos, podemos escrever
onde
representa uma quantidade que tende a
quando
.
(Explicação didática rápida: dividir polinômios dá o termo dominante
. O resto dividido pelo divisor tende a zero porque a ordem do resto é menor que a do divisor.)
Passo 3
Analisar o comportamento da raiz quadrada quando
. Escrevemos
Para
pequeno, vale a expansão binomial (série de Taylor de ordem 1 suficiente para obter o termo constante):
Aqui podemos tomar
, que tende a
quando
. Aplicando a expansão,
Multiplicando por
,
Distribuindo,
Portanto, em notação mais simples:
(Explicação didática: o termo
é dominante; o próximo termo constante provém de
. Termos restantes decaem a zero.)
Passo 4
Agora juntamos os dois comportamentos assintóticos obtidos nos passos anteriores:
Cancelando
e reunindo os termos
, obtemos
Tomando o limite quando
, o termo
some, portanto
Pelo enunciado esse limite deve ser
. Assim chegamos à equação
Passo 5
Resolver a equação obtida para
: