Exercício 14 - Se
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}-\sqrt{x^{2}+3 x-10}\right)=\frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte igualdade envolvendo um limite quando x \to +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}-\sqrt{x^{2}+3 x-10}\right)=\frac{3}{2}.
O que se pede implicitamente é encontrar o valor do parâmetro k que faz essa igualdade ser verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão cuja limite precisamos analisar é \displaystyle \frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}-\sqrt{x^{2}+3 x-10}.
  • O limite dessa expressão, quando x\to+\infty, deve ser \displaystyle \frac{3}{2}.

Passo 2

Analisar o comportamento da fração racional para x\to+\infty. Vamos dividir polinômio por polinômio (divisão euclidiana):
Dividindo \displaystyle x^{4}+k x^{3}+1 por \displaystyle x^{3}+x+1:
  • Primeiro termo do quociente: \displaystyle x, porque \displaystyle x\cdot x^{3}=x^{4}.
    Multiplicando o divisor por x obtemos \displaystyle x^{4}+0\cdot x^{3}+x^{2}+x.
    Subtraindo do numerador sobra: k x^{3} - x^{2} - x + 1.
  • Segundo termo do quociente: \displaystyle k, porque \displaystyle k\cdot x^{3}=k x^{3}.
    Multiplicando o divisor por k obtemos \displaystyle k x^{3}+0\cdot x^{2}+k x+k.
    Subtraindo, o resto fica -x^{2}-(1+k)x+(1-k).
Logo a divisão dá
\frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}=x+k+\frac{-x^{2}-(1+k)x+(1-k)}{x^{3}+x+1}.
Agora observe que o numerador do quociente do resto tem grau 2 e o denominador tem grau 3. Portanto, quando x\to+\infty,
\frac{-x^{2}-(1+k)x+(1-k)}{x^{3}+x+1}\to 0.
Usando a notação de termos pequenos, podemos escrever
\frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}=x+k+o(1),
onde o(1) representa uma quantidade que tende a 0 quando x\to+\infty.
(Explicação didática rápida: dividir polinômios dá o termo dominante x+k. O resto dividido pelo divisor tende a zero porque a ordem do resto é menor que a do divisor.)

Passo 3

Analisar o comportamento da raiz quadrada quando x\to+\infty. Escrevemos
\sqrt{x^{2}+3x-10}=x\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{10}{x^{2}}}.
Para u pequeno, vale a expansão binomial (série de Taylor de ordem 1 suficiente para obter o termo constante):
\sqrt{1+u}=1+\frac{u}{2}+O(u^{2}).
Aqui podemos tomar \displaystyle u=\frac{3}{x}-\frac{10}{x^{2}}, que tende a 0 quando x\to+\infty. Aplicando a expansão,
\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{10}{x^{2}}}=1+\frac{1}{2}\left(\frac{3}{x}-\frac{10}{x^{2}}\right)+O\!\left(\left(\frac{1}{x}\right)^{2}\right).
Multiplicando por x,
\sqrt{x^{2}+3x-10}=x\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{3}{x}-\frac{10}{x^{2}}\right)+O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right).
Distribuindo,
\sqrt{x^{2}+3x-10}=x+\frac{3}{2}-\frac{5}{x}+O\!\left(\frac{1}{x}\right).
Portanto, em notação mais simples:
\sqrt{x^{2}+3x-10}=x+\frac{3}{2}+o(1).
(Explicação didática: o termo x é dominante; o próximo termo constante provém de x\cdot \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{3}{x}=\tfrac{3}{2}. Termos restantes decaem a zero.)

Passo 4

Agora juntamos os dois comportamentos assintóticos obtidos nos passos anteriores:
\frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}-\sqrt{x^{2}+3x-10}=(x+k+o(1))-(x+\tfrac{3}{2}+o(1)).
Cancelando x e reunindo os termos o(1), obtemos
\frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}-\sqrt{x^{2}+3x-10}=k-\frac{3}{2}+o(1).
Tomando o limite quando x\to+\infty, o termo o(1) some, portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{4}+k x^{3}+1}{x^{3}+x+1}-\sqrt{x^{2}+3x-10}\right)=k-\frac{3}{2}.
Pelo enunciado esse limite deve ser \displaystyle \frac{3}{2}. Assim chegamos à equação
k-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Resolver a equação obtida para k:
k-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.

Resposta

k=3

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