Exercício 8.12 Calcule a soma das séries indicadas (a soma corresponde a
, onde
é um número óbvio e
é dada por uma série de potências. Em geral, a série deverá ser manipulada até se encontrar uma série de potências conhecida):
-
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma de uma série infinita dada por:
Esse tipo de série é conhecido como série de potências, onde cada termo é uma potência de uma variável (neste caso,
) multiplicada por coeficientes específicos. Para resolver isso, vamos identificar uma série de potências que já conhecemos e manipular a série dada para encontrarmos uma correspondência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Observe que
pode ser reescrito como
. Portanto, a série fica:
Isso nos ajuda a ver que a série está na forma:
onde
.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma série de potências conhecida que se pareça com a que temos. Uma das séries mais comuns é a série de Taylor da função cosseno, que é dada por:
Comparando com nossa série, vemos que se fizermos
, temos:
Passo 4
Observamos que nossa série original é exatamente igual à série de Taylor do cosseno quando
. Portanto, podemos concluir que:
Resposta
A soma da série é igual a
, que é igual a 1.