Exercício 8.12 Calcule a soma das séries indicadas (a soma corresponde a f(a), onde a é um número óbvio e f é dada por uma série de potências. Em geral, a série deverá ser manipulada até se encontrar uma série de potências conhecida):
  1. sumn=0^+infty (-1)^n 2^2 n pi^2 n(2 n)!

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma de uma série infinita dada por:
sumn=0^+infty (-1)^n 2^2 n pi^2 n(2 n)!
Esse tipo de série é conhecido como série de potências, onde cada termo é uma potência de uma variável (neste caso, pi) multiplicada por coeficientes específicos. Para resolver isso, vamos identificar uma série de potências que já conhecemos e manipular a série dada para encontrarmos uma correspondência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Observe que 2^2n pode ser reescrito como (2^2)^n = 4^n. Portanto, a série fica:
sumn=0^+infty (-1)^n (4 pi^2)^n(2 n)!
Isso nos ajuda a ver que a série está na forma:
sumn=0^+infty (-1)^n a^n(2 n)!
onde a = 4 pi^2.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma série de potências conhecida que se pareça com a que temos. Uma das séries mais comuns é a série de Taylor da função cosseno, que é dada por:
cos(x) = sumn=0^+infty (-1)^n x^2n(2 n)!
Comparando com nossa série, vemos que se fizermos x = 2pi, temos:
cos(2pi) = sumn=0^+infty (-1)^n (2pi)^2n(2 n)!

Passo 4

Observamos que nossa série original é exatamente igual à série de Taylor do cosseno quando x = 2pi. Portanto, podemos concluir que:
sumn=0^+infty (-1)^n 2^2 n pi^2 n(2 n)! = cos(2pi)

Resposta

A soma da série é igual a cos(2pi), que é igual a 1.

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