Exercício 8.9 Obtenha uma representação em série de potências (de Taylor) para cada uma das seguintes funçōes, a partir dos desenvolvimentos conhecidos das funçöes exponencial, seno, co-seno e
. Em cada caso, indique o maior conjunto onde é válida a representação.
4.
4.
Passo 1
O exercício pede a série de Taylor de 2 cos²x usando desenvolvimentos conhecidos de funções elementares (aqui, usaremos a série de coseno).
Passo 2
A gente nota a identidade trigonométrica
dois cos² vira um mais cosseno do dobro.
Passo 3
Lembrando a série de Taylor para cosseno centrada em zero:
Passo 4
Substituindo z = 2x na série de coseno, a gente obtém:
Passo 5
Agora, aplicando a identidade 1 + cos(2x), temos:
Resposta
A representação em série de potências é
válida para todo x real (isto é, no conjunto (−∞, ∞)).