Exercício 8.9 Obtenha uma representação em série de potências (de Taylor) para cada uma das seguintes funçōes, a partir dos desenvolvimentos conhecidos das funçöes exponencial, seno, co-seno e 11-x. Em cada caso, indique o maior conjunto onde é válida a representação.
4. 2 cos ^2 x

Passo 1

O exercício pede a série de Taylor de 2 cos²x usando desenvolvimentos conhecidos de funções elementares (aqui, usaremos a série de coseno).

Passo 2

A gente nota a identidade trigonométrica
2cos^2 x = 1 + cos(2x)
dois cos² vira um mais cosseno do dobro.

Passo 3

Lembrando a série de Taylor para cosseno centrada em zero:
cos z = sumn=0^infty (-1)^n z^2n(2n)!,que vale para todo z real.

Passo 4

Substituindo z = 2x na série de coseno, a gente obtém:
cos(2x) = sumn=0^infty (-1)^n (2x)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n , x^2n(2n)!

Passo 5

Agora, aplicando a identidade 1 + cos(2x), temos:
2cos^2 x = 1 + sumn=0^infty (-1)^n 2^2n , x^2n(2n)!

Resposta

A representação em série de potências é
2cos^2 x = 1 + sumn=0^infty (-1)^n 2^2n , x^2n(2n)!,
válida para todo x real (isto é, no conjunto (−∞, ∞)).

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