Exercício 8.13 Usando representaçōes adequadas em série de potências, justifique que:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para usar séries de potências (Taylor) e justificar que
. O conteúdo aqui é a expansão em série de Taylor de
ao redor de zero e como tirar limites a partir dessa série.
Passo 2
A série de Taylor de
em torno de
é dada por:
Isso vem da definição de série de potências e da derivada de
Passo 3
Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos a série para
:
Passo 4
Agora dividimos essa expressão por
:
Passo 5
Para calcular o limite quando
, notamos que todos os termos que envolvem
e potências superiores tendem a zero. Assim, fica apenas o termo constante:
Resposta
1