Exercício 8.13 Usando representaçōes adequadas em série de potências, justifique que:
(b) lim x 0 e^x-1x=1.

Passo 1

O enunciado pede para usar séries de potências (Taylor) e justificar que limxto0e^x-1x=1. O conteúdo aqui é a expansão em série de Taylor de e^x ao redor de zero e como tirar limites a partir dessa série.

Passo 2

A série de Taylor de e^x em torno de x=0 é dada por:
e^x=sumn=0^inftyx^nn!=1 + x + x^22! + x^33! + cdots
Isso vem da definição de série de potências e da derivada de e^x ser ela mesma.

Passo 3

Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos a série para e^x-1:
e^x-1=(1 + x + x^22! + x^33! + cdots)-1 = x + x^22! + x^33! + cdots

Passo 4

Agora dividimos essa expressão por x:
e^x-1x=x + x^22! + x^33! + cdotsx=1 + x2! + x^23! + cdots

Passo 5

Para calcular o limite quando xto0, notamos que todos os termos que envolvem x e potências superiores tendem a zero. Assim, fica apenas o termo constante:
limxto0e^x-1x=1 + 0 + 0 + cdots=1

Resposta

1

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