Exercício 12. Considere a função f(x)=\frac{2}{x}. Verifique que f toma os valores -2 e 2 em x=-1 e x=1 respectivamente, mas f não toma o valor 0 em nenhum x entre -1 e 1 . Por que isso não contradiz o teorema do valor intermediário?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{2}{x}
e pede para verificar que f(-1)=-2 e f(1)=2, mas que não existe x\in(-1,1) com f(x)=0. O conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário, que exige continuidade de f num intervalo fechado para garantir que ela tome todos os valores entre f(a) e f(b).

Passo 2

Calculemos diretamente em x=-1 e x=1:
f(-1)=\frac{2}{-1}=-2,
f(1)=\frac{2}{1}=2.

Passo 3

Para ver que f(x) não atinge 0 em nenhuma x\in(-1,1), tentamos resolver
\frac{2}{x}=0.
Isso implicaria 2=0, que é impossível. Além disso, para x>0 temos f(x)>0 e para x<0 temos f(x)<0, então f(x) nunca muda de sinal nem passa por zero nesse intervalo.

Passo 4

O Teorema do Valor Intermediário só vale se f for contínua em todo o intervalo fechado [-1,1]. Porém f(x)=2/x não está definida (nem contínua) em x=0. Logo o domínio de f em torno de [-1,1] não é um único intervalo, mas dois ramos [-1,0) e (0,1]. Como falta continuidade em x=0, não podemos aplicar o teorema ali, e não há contradição.

Resposta

Não há contradição porque f(x)=2/x não é contínua em [-1,1] (está indefinida em x=0), então o Teorema do Valor Intermediário não se aplica.

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