Exercício 19. Determine os limites infinitos
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (5 x)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(5x)}{x^{2}}.
Aqui vamos usar uma mudança de variável para comparar o comportamento de \ln(5x) e de x^{2} quando x\to0^{+}.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
t=\frac1x,
de modo que, quando x\to0^{+}, temos t\to+\infty. Além disso,
\ln(5x)=\ln\!\Bigl(5\cdot\frac1t\Bigr)=\ln5-\ln t, \quad x^{2}=\frac1{t^{2}}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração original, chega­mos a
\frac{\ln(5x)}{x^{2}} = \frac{\ln5-\ln t}{1/t^{2}} = t^{2}\,(\ln5-\ln t) = -\,t^{2}\ln t \;+\; (\ln5)\,t^{2}.

Passo 4

Quando t\to+\infty, sabemos que t^{2}\ln t\to+\infty (potência vence logaritmo). Logo o termo dominante em
-\,t^{2}\ln t + (\ln5)\,t^{2}
é -\,t^{2}\ln t, que vai a -\infty. Portanto
t^{2}(\ln5-\ln t)\;\longrightarrow\;-\,\infty \quad(t\to+\infty),
o que implica
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(5x)}{x^{2}}=-\infty.

Resposta

-\infty

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