Determine para quais valores do parâmetros (letras gregas) as transformações abaixo são lineares:
, tal que

Passo 1

O exercício pede para achar os valores dos parâmetros alpha,beta,gamma tais que a transformação F: R^3toR^3, definida por (x,y,z)mapsto(x+alpha,,beta y,,z+gamma), seja linear. Esse assunto é sobre transformações lineares e vamos usar a definição: para ser linear, deve valer F(u+v)=F(u)+F(v) e F(lambda u)=lambda F(u).

Passo 2

Uma maneira prática de testar linearidade é verificar o ponto zero: para toda transformação linear deve ocorrer F(0,0,0)=(0,0,0). Vamos computar

Passo 3

Calculando F(0,0,0) temos:

Passo 4

Para F(0,0,0) obtemos (0+alpha,,betacdot0,,0+gamma)=(alpha,0,gamma). Para que isso seja o vetor nulo, precisamos de alpha=0 e gamma=0. Já beta pode ser qualquer real, pois ymapstobeta y é sempre linear.

Resposta

A transformação é linear se, e somente se, alpha=0 e gamma=0, com beta arbitrário.

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