Exercício 12 Considere
com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de
?
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(polinômios de grau
sobre
) e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
) o polinômio zero pertence a
,
)
é fechado sob soma,
)
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero
está em
.
Temos e
, logo
Temos
Portanto, o polinômio zero satisfaz a condição e está em
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos
. Então
Para o polinômio
temos
Logo
também satisfaz a condição e pertence a
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, com
. Então
Isso mostra que
também está em
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as três propriedades de subespaço (contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação escalar). Portanto,
é um subespaço de
.