Exercício 12 Considere V=P3(R), F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de V ?
W=p in P3(R) mid p(0)=2 p(1).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P3(R) (polinômios de grau <=3 sobre R) e o subconjunto
W = ,p in P3(R) mid p(0) = 2,p(1)
Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades:
1) o polinômio zero pertence a W,
2) W é fechado sob soma,
3) W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero p(x)=0 está em W.
Temos p(0)=0 e p(1)=0, logo
p(0)=0 = 2cdot 0 = 2,p(1)
Portanto, o polinômio zero satisfaz a condição e está em W.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos p,qin W. Então
p(0)=2,p(1) e q(0)=2,q(1)
Para o polinômio p+q temos
(p+q)(0)=p(0)+q(0) =2,p(1)+2,q(1) =2l(p(1)+q(1)r) =2,(p+q)(1)
Logo p+q também satisfaz a condição e pertence a W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja alphainR e pin W, com p(0)=2,p(1). Então
(alpha p)(0)=alpha,p(0) =alpha,(2,p(1)) =2,(alpha,p(1)) =2,(alpha p)(1)
Isso mostra que alpha p também está em W.

Resposta

O conjunto W satisfaz as três propriedades de subespaço (contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação escalar). Portanto, W é um subespaço de V.

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