Exercício 12 Considere
com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de
?
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o espaço dos polinômios de grau
sobre
e
Queremos ver se
é subespaço de
. Para isso usamos o critério de subespaço:
. Verificar que o vetor zero está em
.
. Verificar fechamento em soma.
. Verificar fechamento em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que o polinômio zero está em
.
O polinômio zero é , ou seja
,
,
. Como
O polinômio zero é
temos
. Logo
.
Passo 3
Fechamento em soma.
Sejam com
Sejam
Então
e
logo
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação por escalar.
Seja e
. Escrevendo
Seja
temos
e
logo
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim,
é subespaço de
.