Exercício 12 Considere V=P3(R), F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de V ?
W=p(x)=a+b x+c x^2 mid a=b+c.

Passo 1

O enunciado diz que V=P3(R) é o espaço dos polinômios de grau <=3 sobre R e
W=lp(x)=a + b,x + c,x^2mid a = b + cr
Queremos ver se W é subespaço de V. Para isso usamos o critério de subespaço:
1. Verificar que o vetor zero está em W.
2. Verificar fechamento em soma.
3. Verificar fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o polinômio zero está em W.
O polinômio zero é p(x)=0, ou seja a=0, b=0, c=0. Como
a = 0 = 0 + 0 = b + c,
temos pin W. Logo Wneqvarnothing.

Passo 3

Fechamento em soma.
Sejam p1,p2in W com
p1(x)=a1+b1x+c1x^2, a1=b1+c1,
p2(x)=a2+b2x+c2x^2, a2=b2+c2
Então
p1(x)+p2(x)=(a1+a2)+(b1+b2)x+(c1+c2)x^2
e
a1+a2=(b1+c1)+(b2+c2)=(b1+b2)+(c1+c2),
logo p1+p2in W.

Passo 4

Fechamento em multiplicação por escalar.
Seja pin W e lambdainR. Escrevendo
p(x)=a+b,x+c,x^2, a=b+c,
temos
lambda p(x)=lambda a + (lambda b)x + (lambda c)x^2
e
lambda a = lambda(b+c) = (lambda b)+(lambda c),
logo lambda pin W.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim, W é subespaço de V.

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