Exercício 12 Considere
com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de
?
;
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Precisamos verificar se
é subespaço de
, ou seja, se contém o vetor zero e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Como em
impomos
e
, todo polinômio em
é da forma
com
.
Passo 3
Mostramos que o polinômio zero pertence a
: basta tomar
, o que dá
.
Para a adição, se e
estão em
, então
Para a adição, se
que ainda é da forma
e, portanto, está em
.
Passo 4
Para um escalar
e
em
, temos
que também é da forma
e, logo, pertence a
.
Passo 5
Como
contém o polinômio zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço de
.
Resposta
Sim,
é subespaço de
.