Exercício 12 Considere V=P3(R), F=R com as operações usuais. Os subconjuntos a seguir são subespaços de V ?
W=p(x)=a+b x+c x^2 mid a=c=0;

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = P3(R) e o subconjunto
W = l,p(x)=a + b,x + c,x^2mid a=c=0r
Precisamos verificar se W é subespaço de V, ou seja, se contém o vetor zero e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Como em W impomos a=0 e c=0, todo polinômio em W é da forma
p(x) = b,x,
com binR.

Passo 3

Mostramos que o polinômio zero pertence a W: basta tomar b=0, o que dá p(x)=0.
Para a adição, se p1(x)=b1x e p2(x)=b2x estão em W, então
p1(x)+p2(x) ;=;(b1+b2),x,
que ainda é da forma b,x e, portanto, está em W.

Passo 4

Para um escalar alphainR e p(x)=b,x em W, temos
alpha,p(x) = alpha,b,x,
que também é da forma b',x e, logo, pertence a W.

Passo 5

Como W contém o polinômio zero e é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de V.

Resposta

Sim, W é subespaço de V.

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