Exercício 13 Sejam
subespaço de
(com as operações usuais, ou seja, aquelas do exercício 4).
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado define os subespaços de
e pede para mostrar que
,
e
.
Lembrando que
Lembrando que
vamos pegar um vetor genérico
e escrevê-lo como soma de um vetor de cada subespaço.
Passo 2
Mostrando
. Seja
. Definimos
pois em
vale
e em
vale
. Então
logo todo
está em
, ou seja
.
Passo 3
Mostrando
. Seja
. Definimos
pois em
vale
e em
vale
. Então
portanto
.
Passo 4
Mostrando
. Seja
. Podemos escolher, por exemplo,
pois em
vale
e em
vale
. Então
e assim
.