Exercício 13 Sejam U, V, W subespaço de R^3 (com as operações usuais, ou seja, aquelas do exercício 4).
U & =(x, y, z) mid x=z V & =(x, y, z) mid x=y=0 e W & =(x, y, z) mid x+y+z=0
Mostre que R^3=U+V, R^3=V+W, R^3=U+W.

Passo 1

O enunciado define os subespaços de R^3
U=(x,y,z)mid x=z, V=(x,y,z)mid x=y=0, W=(x,y,z)mid x+y+z=0
e pede para mostrar que
R^3=U+V,
R^3=V+W e
R^3=U+W.
Lembrando que
U+V=u+vmid uin U, vin V,
vamos pegar um vetor genérico (a,b,c)inR^3 e escrevê-lo como soma de um vetor de cada subespaço.

Passo 2

Mostrando R^3=U+V. Seja (a,b,c)inR^3. Definimos
u=(a,b,a)in U, v=(0,0,c-a)in V
pois em U vale x=z e em V vale x=y=0. Então
u+v=(a,b,a)+(0,0,c-a)=(a,b,c)
logo todo (a,b,c) está em U+V, ou seja R^3=U+V.

Passo 3

Mostrando R^3=V+W. Seja (a,b,c)inR^3. Definimos
w=(a,b,-a-b)in W, v=(0,0,c+a+b)in V
pois em W vale x+y+z=0 e em V vale x=y=0. Então
v+w=(0,0,c+a+b)+(a,b,-a-b)=(a,b,c)
portanto R^3=V+W.

Passo 4

Mostrando R^3=U+W. Seja (a,b,c)inR^3. Podemos escolher, por exemplo,
u=(0,a+b+c,0)in U, w=(a,-a-c,c)in W
pois em U vale x=z e em W vale x+y+z=0. Então
u+w=(0,a+b+c,0)+(a,-a-c,c)=(a,b,c)
e assim R^3=U+W.

Resposta

R^3=U+V, R^3=V+W, R^3=U+W

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