2 Sejam Phi uma função diferenciável de uma variárel e seja f(x, y)=(x^2+y^2) cdot Phi(xy). Mostre que
x cdot partial fpartial x+y cdot partial fpartial y=2 f

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = l(x^2+y^2r),Phi!l(tfracxyr)
e pede para mostrar que
x,partial fpartial x+y,partial fpartial y=2,f
Aqui vamos usar cálculo de derivadas parciais, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos funções auxiliares
u(x,y)=x^2+y^2
v(x,y)=xy
para reescrever f(x,y)=u(x,y),Phil(v(x,y)r).
As derivadas parciais de u e v são
partial upartial x=2x, partial upartial y=2y
partial vpartial x=1y, partial vpartial y=-xy^2

Passo 3

Aplicando a regra do produto e da cadeia, temos
partial fpartial x =partial upartial x,Phi(v) +u,Phi'(v),partial vpartial x =2x,Phi(v)+(x^2+y^2),Phi'(v),1y,
partial fpartial y =partial upartial y,Phi(v) +u,Phi'(v),partial vpartial y =2y,Phi(v)-(x^2+y^2),Phi'(v),xy^2

Passo 4

Agora calculamos
x,partial fpartial x+y,partial fpartial y =xl[2x,Phi(v)+x^2+y^2y,Phi'(v)r] +yl[2y,Phi(v)-x^2+y^2y^2,x,Phi'(v)r]
Distribuindo e somando, os termos com Phi'(v) se cancelam:
=2(x^2+y^2),Phi(v) =2,f(x,y)

Resposta

x,partial fpartial x+y,partial fpartial y=2,f

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