Exercício 12. (D. 4.7, ex.4.7) Obtenha a solução do problema abaixo:
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x)+e^-t, t>0 x in] 0, l[ partial upartial x(t, 0)=partial upartial x(t, l)=0, t>0 u(0, x)=0, x in] 0, l[

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor com fonte independente de
O conteúdo é separação de variáveis via expansão em autofunções do operador .

Passo 2

Expandimos
u(t,x)=a0(t)+sumn=1^inftyan(t)cos!l(npi x/lr),
onde
a0(t)=1lintegral0^lu(t,x),dx, an(t)=2lintegral0^lu(t,x)cos!l(npi x/lr),dx
Expandimos também a fonte f(t,x)=e^-t nas mesmas autofunções:
f(t,x)=f0(t)+sumn=1^inftyfn(t)cos!l(npi x/lr)

Passo 3

Calculamos os coeficientes da fonte:
f0(t)=1lintegral0^le^-t,dx=e^-t,
fn(t)=2lintegral0^le^-tcos!l(npi x/lr),dx =e^-t,2l[lnpisin!l(npi x/lr)]0^l=0(n>=1)

Passo 4

Na equação do calor os modos satisfazem ODEs:
  • Modo n=0 (autovalor lambda0=0):
a0'(t)=f0(t)=e^-t, a0(0)=0 Longrightarrow a0(t)=integral0^te^-s,ds=1-e^-t
  • Modos n>=1 ( lambdan=(npi/l)^2):
an'(t)=-klambdan,an(t)+fn(t)=-klambdan,an(t), an(0)=0 Longrightarrow an(t)=0

Passo 5

Reagrupando, a única contribuição é do modo n=0:
u(t,x)=a0(t)=1-e^-t

Resposta

u(t,x)=1-e^-t

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