Nos exercícios 8a) → 8j), calcule o limite de f(x) quando x → a₋ e quando x → a₊.
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+4 x+5}-\sqrt{5}}{x}, a=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^-f(x) e limxto0^+f(x)
onde
f(x)=raizx^2+4x+5-raiz5x
O conteúdo aqui é limite de expressão que apresenta forma indeterminada tfrac00. Vamos usar a técnica de racionalização do numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada raizx^2+4x+5+raiz5:
f(x) =raizx^2+4x+5-raiz5x cdot raizx^2+4x+5+raiz5raizx^2+4x+5+raiz5

Passo 3

No numerador a diferença de quadrados gera
(raizx^2+4x+5)^2-(raiz5)^2 =x^2+4x+5-5 =x(x+4)
Assim, para xneq0,
f(x) =x(x+4)xl(raizx^2+4x+5+raiz5r) =x+4raizx^2+4x+5+raiz5

Passo 4

Agora avaliamos o limite substituindo xto0 na expressão simplificada, que é contínua para xneq0:
o numerador tende a 0+4=4 e o denominador tende a raiz5+raiz5=2raiz5. Logo,
limxto0f(x) =42raiz5 =2raiz5

Passo 5

Como a forma simplificada não depende do sinal de x, os limites pela esquerda e pela direita coincidem.

Resposta

limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) =2raiz5

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