Exercício 12. (D.K. ex. 14.13) Prove que para todo e , temos
e deduza que
Passo 1
O enunciado pede que, para todo e , mostremos
e então deduzir que, em ,
Para isso vamos usar a definição da transformada de Fourier sem fator de normalização, o teorema de Fubini (válido pois e são funções de Schwartz) e o cálculo da integral elementar .
Passo 2
Pela definição ,
podemos escrever, trocando a ordem de integração (Fubini),
Passo 3
Calculemos a integral interior em :
Substituindo de volta, obtemos a identidade desejada:
Passo 4
Agora fazemos . O lado esquerdo tende a .
Pela fórmula de inversão da transformada de Fourier (em ) temos
Logo, passando ao limite na identidade do passo anterior:
Passo 5
A última igualdade justamente diz que, como distribuições em , a família satisfaz
Isso mostra a convergência sen(tx)xto pi,de<a em S'(R).