Exercício 12. (D.K. ex. 14.13) Prove que para todo t>0 e phi in S(R^n), temos
integral-t^t F phi(xi) d xi=2 integralR phi(x) sen(t x)x d x
e deduza que
lim t infty sen(t x)x=pi de<a em S^prime(R^n)

Passo 1

O enunciado pede que, para todo t>0 e phiinS(R), mostremos
integral-t^tFphi(xi),dxi ;=;2integralRphi(x),sen(tx)x,dx
e então deduzir que, em S'(R),
limttoinftysen(tx)x ;=;pi,de<a
Para isso vamos usar a definição da transformada de Fourier sem fator de normalização, o teorema de Fubini (válido pois phi e Fphi são funções de Schwartz) e o cálculo da integral elementar
integral-t^te^-ixi xdxi.

Passo 2

Pela definição
Fphi(xi)=integralRe^-ixi x,phi(x),dx,
podemos escrever, trocando a ordem de integração (Fubini),
integral-t^tFphi(xi),dxi =integral-t^tl(integralRe^-ixi x,phi(x),dxr)dxi =integralRphi(x)l(integral-t^te^-ixi xdxir)dx

Passo 3

Calculemos a integral interior em xi:
integral-t^te^-ixi xdxi =[e^-ixi x-i,x]xi=-t^xi=t =e^-i t x-e^i t x-i,x =2,sen(t x)x
Substituindo de volta, obtemos a identidade desejada:
integral-t^tFphi(xi),dxi =2integralRphi(x),sen(tx)x,dx

Passo 4

Agora fazemos ttoinfty. O lado esquerdo tende a
integral-infty^inftyFphi(xi),dxi.
Pela fórmula de inversão da transformada de Fourier (em xi=0) temos
phi(0) =12piintegralRFphi(xi),dxi Longrightarrow integralRFphi(xi),dxi =2pi,phi(0)
Logo, passando ao limite na identidade do passo anterior:
2;limttoinftyintegralRphi(x),sen(tx)x,dx =2pi,phi(0) ;Longrightarrow; limttoinftyintegralRphi(x),sen(tx)x,dx =pi,phi(0)

Passo 5

A última igualdade justamente diz que, como distribuições em S'(R), a família
Tt(x)=sen(tx)x satisfaz
lang<= Tt,phirang<= =integralRphi(x),sen(tx)x,dx ;xrightarrow[ttoinfty]; pi,phi(0) =lang<= pi,de<a,phirang<=
Isso mostra a convergência
sen(tx)xto pi,de<a em S'(R).

Resposta

Mostrou-se primeiro que
integral-t^tFphi(xi),dxi =2integralRphi(x),sen(tx)x,dx,
depois, fazendo ttoinfty e usando a inversão em xi=0, concluiu-se
limttoinftysen(tx)x=pi,de<a em;S'(R)

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