P 4.4. Diz-se que uma matriz A com coeficientes reais é ortogonal se A A^t=I.
a) Mostre que se A é uma matriz ortogonal então det(A)= pm 1.
b) Mostre que existe uma matriz ortogonal A tal que det(A)=-1.

Passo 1

O enunciado define uma matriz A real ortogonal se
A,A^T=I,
pede em (a) mostrar que det(A)=pm1 e em (b) dar um exemplo de matriz ortogonal com det(A)=-1. Para resolver usaremos as propriedades de determinante: multiplicatividade, valor em I e relação com a transposta.

Passo 2

Aplicamos o determinante na igualdade A,A^T=I. Usando que para quaisquer matrizes quadradas X,Y vale
det(XY)=det(X),det(Y),
temos
det(A,A^T)=det(I)

Passo 3

Ainda sabemos que
det(A,A^T)=det(A),det(A^T) e det(A^T)=det(A),
portanto
det(A,A^T)=det(A)^2 Longrightarrow det(A)^2=det(I)=1,
e daí segue det(A)=pm1.

Passo 4

Para (b), basta exibir um exemplo concreto. Em R^2 considere
A= -1 & 0 0 & 1
Cheque que
A,A^T =-1&00&1 -1&00&1 =1&00&1=I,
logo A é ortogonal, e
det(A)=(-1)cdot1=-1

Resposta

(a) det(A)=pm1.
(b) Por exemplo,
A=-1&00&1,
que é ortogonal e tem det(A)=-1.

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