P 4.4. Diz-se que uma matriz com coeficientes reais é ortogonal se .
a) Mostre que se é uma matriz ortogonal então .
b) Mostre que existe uma matriz ortogonal tal que .
Passo 1
O enunciado define uma matriz real ortogonal se
pede em (a) mostrar que e em (b) dar um exemplo de matriz ortogonal com . Para resolver usaremos as propriedades de determinante: multiplicatividade, valor em e relação com a transposta.
Passo 2
Aplicamos o determinante na igualdade . Usando que para quaisquer matrizes quadradas vale
temos
Passo 3
Ainda sabemos que
portanto
e daí segue .
Passo 4
Para (b), basta exibir um exemplo concreto. Em considere