P 4.5. Seja A uma matriz n times n. Mostre por indução em n que det(A)=det(A^T) (Sug.: Utilize a fórmula de Laplace).

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que toda matriz quadrada A de ordem n satisfaz
det(A)=detl(A^Tr)
O principal instrumento será a fórmula de Laplace (expansão de determinante por uma linha ou coluna) e a observação de que o processo se comporta bem sob transposição de submatrizes.

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Se A é 1times1, digamos A=(a), então A^T=(a) também e
det(A)=a=detl(A^Tr)
Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese de indução.
Suponha que para toda matriz (n-1)times(n-1) B valha det(B)=det(B^T).
Queremos mostrar o mesmo para uma matriz genérica A de ordem n.

Passo 4

Expansão de det(A) pela primeira linha:
det(A) =sumj=1^n(-1)^1+j,a1j,detl(A1jr),
onde A1j é a submatriz obtida de A retirando linha 1 e coluna j.

Passo 5

Expansão de det(A^T) pela primeira coluna:
detl(A^Tr) =sumi=1^n(-1)^,i+1,(A^T)i1,det!l((A^T)i1r)
Observe que (A^T)i1=a1i e que (A^T)i1 é exatamente a transposta de A1i. Pela hipótese de indução,
det!l((A^T)i1r) =detl((A1i)^Tr) =detl(A1ir)

Passo 6

Comparando termos vemos
detl(A^Tr) =sumi=1^n(-1)^,i+1,a1i,detl(A1ir) =sumj=1^n(-1)^1+j,a1j,detl(A1jr) =det(A)
Assim, por indução, det(A)=det(A^T) para toda matriz quadrada de ordem n.

Resposta

det(A)=det(A^T) para todo n.

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