P 4.5. Seja
uma matriz
. Mostre por indução em
que
(Sug.: Utilize a fórmula de Laplace).
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que toda matriz quadrada
de ordem
satisfaz
O principal instrumento será a fórmula de Laplace (expansão de determinante por uma linha ou coluna) e a observação de que o processo se comporta bem sob transposição de submatrizes.
Passo 2
Base da indução (
).
Se é
, digamos
, então
também e
Se
Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo – hipótese de indução.
Suponha que para toda matriz
valha
.
Queremos mostrar o mesmo para uma matriz genérica de ordem
.
Suponha que para toda matriz
Queremos mostrar o mesmo para uma matriz genérica
Passo 4
Expansão de
pela primeira linha:
onde
é a submatriz obtida de
retirando linha 1 e coluna
.
Passo 5
Expansão de
pela primeira coluna:
Observe que
e que
é exatamente a transposta de
. Pela hipótese de indução,
Passo 6
Comparando termos vemos
Assim, por indução,
para toda matriz quadrada de ordem
.