Exercício 12. Dadas as regras de função abaixo, determine domínio:
g(x)=raizx-23 x+1.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
g(x)=raizx-23x+1
Aqui o conteúdo é estudo de domínio envolvendo raiz quadrada e fração. Vamos precisar garantir dois pontos: o denominador não pode ser zero e o quociente dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, impomos que o denominador seja diferente de zero, pois divisão por zero não está definida:
3x+1 neq 0 Longrightarrow x neq -tfrac13

Passo 3

Em seguida, como temos uma raiz quadrada, o radicando deve ser não-negativo:
x-23x+1 >= 0
Para resolver essa desigualdade, identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam:
x-2=0 ;Longrightarrow; x=2, 3x+1=0 ;Longrightarrow; x=-tfrac13

Passo 4

Agora analisamos o sinal de x-23x+1 nos intervalos determinados por -tfrac13 e 2:
  1. Para x<-tfrac13: numerador x-2<0 e denominador 3x+1<0, logo o quociente é positivo.
  2. Para -tfrac13<x<2: numerador x-2<0 e denominador 3x+1>0, logo o quociente é negativo (fora do domínio).
  3. Para x>2: numerador x-2>0 e denominador 3x+1>0, logo o quociente é positivo.
No ponto x=2 o radicando vale zero, o que é permitido ( raiz0=0). Já em x=-tfrac13 o denominador zera, o que excluímos.

Resposta

O domínio de g é
(-infty, -tfrac13) ;cup; [2,infty)

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