Exercício 12. Dadas as regras de função abaixo, determine domínio:
são números reais fixos e .)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(x) = 1raiza x^2 + b x + c
com a,b,cinR e a>0. Queremos o domínio de h, que exige analisar a raiz (conteúdo não negativo) e o denominador (não zero).

Passo 2

Para h(x) estar bem definida, precisamos de duas condições:
a x^2 + b x + c >= 0
e
raiza x^2 + b x + cneq 0
A segunda implica que o radicando não pode ser zero, logo combinando as duas:
a x^2 + b x + c > 0

Passo 3

A inequação
a x^2 + b x + c > 0
é quadrática com concavidade para cima ( a>0). Seus possíveis zeros vêm da equação
a x^2 + b x + c = 0,
cujos raízes são
x1,2 = -b pm raizDe<a2a, De<a = b^2 - 4a c

Passo 4

Caso De<a < 0, não há raízes reais e, sendo a parábola positiva em todo lugar, temos
a x^2 + b x + c>0forall xinR
Assim o domínio é R.

Passo 5

Caso De<a = 0, há uma raiz dupla
x0 = -b2a,
em que a x^2+b x+c=0. Esse ponto anula o denominador, então o domínio é
Rsetminuslx0r =Rsetminusl-tfracb2ar

Passo 6

Caso De<a > 0, as raízes reais são
x- = -b - raizDe<a2a, x+ = -b + raizDe<a2a,
com x-<x+. A parábola fica acima de zero fora do intervalo [x-,x+], logo o domínio é
(-infty,,x-);cup;(x+,,infty)

Resposta

Se :
Se com :
Se com :

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