EXERCÍCIO 3.12: Determinar a economia de trabalho absorvido por um compressor de dois estágios em relação ao de um estágio. Supor que são admitidos 3 \mathrm{~m}^{3} por minuto de ar na temperatura e pressão ambientes, e que a pressão final deva ser de 12 atmosferas. Considerar o índice de compressão \mathrm{k}=1,3. Dados: V_{1}=3 \mathrm{~m}^{3} ; p_{1}=1 \mathrm{~atm}; p_{2}=(12+1) \mathrm{atm}=13 \mathrm{~atm} ; ~ k=1,3

Passo 1

O enunciado pede para comparar o trabalho mínimo politrópico absorvido por um compressor de ar que eleva a pressão de \,1\,\text{atm} a \,13\,\text{atm} admitindo \,3\\ \mathrm{m}^3/\min, no caso de um estágio só, e no caso de dois estágios com resfriamento intermédio à temperatura ambiente. O índice de compressão é \,k=1{,}3. Vamos usar a fórmula do trabalho politrópico
W = \frac{k}{k-1}\,p_1V_1\Bigl[\bigl(\tfrac{p_2}{p_1}\bigr)^{\!\frac{k-1}{k}} -1\Bigr]
e, para dois estágios com resfriamento ideal, escolher a pressão intermédia ótima
p_i = \sqrt{p_1\,p_2}\,.

Passo 2

Cálculo do trabalho no compressor de estágio único.
Aqui p_1=1\,\text{atm}, p_2=13\,\text{atm}, V_1=3\,\mathrm{m}^3. Definindo r=p_2/p_1=13 e C=\dfrac{k}{k-1}=\dfrac{1{,}3}{0{,}3}=4{,}3333, temos
W_{\text{único}} = C\,p_1V_1\Bigl[r^{\frac{k-1}{k}}-1\Bigr] =4{,}3333\times1\times3\Bigl[13^{0{,}23077}-1\Bigr]\,\text{atm\cdotm}^3.ú
Calculando 13^{0{,}23077}\approx1{,}8088,
W_{\text{único}} =4{,}3333\cdot3\cdot(1{,}8088-1) =13\cdot0{,}8088 =10{,}5144\\ \text{atm\cdotm}^3.ú
Convertendo para energia ( 1 atm \cdot m^{3} \approx 101,325 kJ):
W_{\text{único}} \approx10{,}5144\times101{,}325 \approx1\,065{,}9\\ \mathrm{kJ\\ per\\ min}.ú

Passo 3

Pressão intermédia ótima para dois estágios com resfriamento ideal:
p_i = \sqrt{p_1\,p_2} = \sqrt{1\cdot13} \approx3{,}606\\ \text{atm}.

Passo 4

Trabalho do primeiro estágio ( 1\to p_i) comprimindo V_1=3\,\mathrm{m}^3 de 1 atm a 3{,}606 atm:
W_1 = C\,p_1V_1\Bigl[\bigl(\tfrac{p_i}{p_1}\bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}-1\Bigr] =4{,}3333\cdot3\bigl[3{,}606^{0{,}23077}-1\bigr]\,\text{atm\cdotm}^3.
Calculando 3{,}606^{0{,}23077}\approx1{,}3439,
W_1 =13\cdot(1{,}3439-1) =13\cdot0{,}3439 =4{,}4707\\ \text{atm\cdotm}^3 \approx4{,}4707\times101{,}325 \approx452{,}8\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Após o resfriamento o volume no segundo estágio é
V_2 =V_1\Bigl(\tfrac{p_1}{p_i}\Bigr)^{\!1/k} =3\,(3{,}606)^{-1/1{,}3} \approx1{,}1200\\ \mathrm{m}^3.
O trabalho do segundo estágio ( p_i\to p_2) é
W_2 = C\,p_i\,V_2\Bigl[\bigl(\tfrac{p_2}{p_i}\bigr)^{\!\frac{k-1}{k}}-1\Bigr] =4{,}3333\cdot p_iV_2\,(3{,}606^{0{,}23077}-1).
Como o fator (3{,}606^{0{,}23077}-1)=0{,}3439 já foi calculado, e p_iV_2\approx3{,}606\times1{,}1200=4{,}0407 atm \cdot m^{3},
W_2 =4{,}3333\cdot4{,}0407\cdot0{,}3439 \approx6{,}0228\\ \text{atm\cdotm}^3 \approx6{,}0228\times101{,}325 \approx610{,}3\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Trabalho total em dois estágios com intercooler:
W_{\text{2 est.}} = W_1 + W_2 \approx452{,}8 + 610{,}3 =1\,063{,}1\\ \mathrm{kJ}.
Economia absoluta e percentual:
\Delta W = W_{\text{único}} - W_{\text{2 est.}} \approx1\,065{,}9 - 1\,063{,}1 =2{,}8\\ \mathrm{kJ/min},ú
\%\text{economia} = \frac{2{,}8}{1\,065{,}9}\times100\%\approx0{,}26\%.

Resposta

Economia de trabalho \approx2{,}8\\ \mathrm{kJ/min}, ou cerca de 0{,}26\%.

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