EXERCÍCIOS 3.13: Determinar o índice de compressão adiabática que se verifica em um cilindro com os seguintes elementos: V_{1}=252,8 \mathrm{~mm}^{3}, \quad p_{1}=1,38 \mathrm{~atm}, V_{3}=124,3 \mathrm{~mm}^{3}, p_{3}=3,5 \mathrm{~atm}

Passo 1

O enunciado fornece dois estados de um gás ideal num processo adiabático de compressão:
– Estado 1: V_{1}=252,8\\ \mathrm{mm}^{3} e p_{1}=1,38\\ \mathrm{atm}.
– Estado 3: V_{3}=124,3\\ \mathrm{mm}^{3} e p_{3}=3,5\\ \mathrm{atm}.
Queremos determinar o expoente \gamma (índice de compressão adiabática) usando a relação de um processo adiabático.

Passo 2

Em um processo adiabático reversível de um gás ideal vale
p\,V^{\gamma}=\text{constante}.
Isso implica, entre os estados 1 e 3,
p_{1}\,V_{1}^{\gamma}=p_{3}\,V_{3}^{\gamma}.

Passo 3

Isolando \gamma, dividimos membro a membro:
\frac{p_{3}}{p_{1}} =\frac{V_{1}^{\gamma}}{V_{3}^{\gamma}} =\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{3}}\Bigr)^{\gamma}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\gamma =\frac{\ln\bigl(p_{3}/p_{1}\bigr)}{\ln\bigl(V_{1}/V_{3}\bigr)}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\frac{p_{3}}{p_{1}} =\frac{3,5}{1,38} \approx2,536, \qquad \frac{V_{1}}{V_{3}} =\frac{252,8}{124,3} \approx2,034.
Logo,
\gamma =\frac{\ln(2,536)}{\ln(2,034)} \approx\frac{0,930}{0,710} \approx1,31.

Resposta

\gamma\approx1,31

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