Exercício 3.8: Se comprimirmos adiabaticamente 8 \mathrm{~m}^{3} de ar à pressão atmosférica até que o volume fique reduzido a 2,5 \mathrm{~m}^{3}, qual será a pressão efetiva no novo estado?k = 1,4. Dados: V_{1}=8,0 \mathrm{~m}^{3} ; p_{1}=1 \mathrm{~atm} ; p_{2}=? ; V_{2}=2,5 \mathrm{~m}^{3} ; \mathrm{k}=1,4

Passo 1

Temos uma compressão adiabática de ar (gás ideal) de V_{1}=8{,}0\\ \mathrm{m}^{3} e p_{1}=1\\ \mathrm{atm} até V_{2}=2{,}5\\ \mathrm{m}^{3}. Como o processo é adiabático, vale a relação
p\,V^{k}=\text{constante},
onde k=1{,}4.

Passo 2

Da condição adiabática segue
p_{1}\,V_{1}^{k}=p_{2}\,V_{2}^{k}.

Passo 3

Isolando p_{2}, obtemos
p_{2} = p_{1}\,\biggl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\biggr)^{k}.
Substituindo p_{1}=1\\ \mathrm{atm}, V_{1}=8{,}0\\ \mathrm{m}^{3}, V_{2}=2{,}5\\ \mathrm{m}^{3} e k=1{,}4, fica
p_{2} = 1\\ \mathrm{atm}\,\bigl(\tfrac{8{,}0}{2{,}5}\bigr)^{1{,}4} = 1\\ \mathrm{atm}\,(3{,}2)^{1{,}4}.

Passo 4

Para calcular (3{,}2)^{1{,}4}, usamos logaritmo ou calculadora:
(3{,}2)^{1{,}4}\approx 5{,}10.

Resposta

A pressão final é aproximadamente p_{2}=5{,}1\\ \mathrm{atm}.

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