EXERCÍCIO 3.11: Um volume de 4 \mathrm{~m}^{3} de ar acha-se submetido à pressão atmosférica. Determinar os trabalhos que se realizarão sob a forma de compressão isotérmica e depois sob a forma adiabática, quando o ar for comprimido a 6 atmosferas manométricas. Considerar \mathrm{k}=1,40. Dados: V_{1}=4 \mathrm{~m}^{3} ; p_{1}=1 \mathrm{~atm} ; p_{2}=6 \mathrm{~atm}; k=1,4

Passo 1

Temos uma massa fixa de ar ideal submetida inicialmente a
V_{1}=4\,\mathrm{m^{3}},\quad p_{1}=1\,\mathrm{atm},
e comprimida até
p_{2}=6\,\mathrm{atm},
sem alterar a quantidade de gás. Queremos o trabalho de compressão
  1. isotérmica ( T= constante)
  2. adiabática ( pV^{k}= constante, com k=1{,}4).
    Usaremos o valor de 1\,\mathrm{atm}=1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa} e a relação ideal pV=mRT.

Passo 2

Para a compressão isotérmica o trabalho feito sobre o gás (módulo) é
W_{\mathrm{iso}} =-\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,\mathrm{d}V = p_{1}V_{1}\ln\frac{V_{1}}{V_{2}} = p_{1}V_{1}\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}
pois pV= constante.
Convertendo p_{1} para pascal e calculando
p_{1}V_{1} =1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}\times4\,\mathrm{m^{3}} =4{,}052\times10^{5}\,\mathrm{J},
\ln\frac{p_{2}}{p_{1}} =\ln(6) \approx1{,}7918,
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W_{\mathrm{iso}} =4{,}052\times10^{5}\times1{,}7918 \approx7{,}26\times10^{5}\,\mathrm{J}.

Passo 3

Para a compressão adiabática vale
p\,V^{k}=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow\quad V_{2}=V_{1}\Bigl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{1/k}.
O trabalho (módulo) é
W_{\mathrm{ad}} =-\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,\mathrm{d}V =\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-k}
que, usando p_{2}V_{2}=p_{1}V_{1}(p_{2}/p_{1})^{(k-1)/k}, torna-se
W_{\mathrm{ad}} =\frac{p_{1}V_{1}}{k-1}\Bigl[\Bigl(\frac{p_{2}}{p_{1}}\Bigr)^{\!\tfrac{k-1}{k}}-1\Bigr].
Com k=1{,}4 e p_{2}/p_{1}=6 temos
\frac{k-1}{k}=\frac{0{,}4}{1{,}4}\approx0{,}2857, \quad 6^{0,2857}\approx1{,}6687,
então
W_{\mathrm{ad}} =\frac{4{,}052\times10^{5}}{0{,}4}\bigl(1{,}6687-1\bigr) =1{,}013\times10^{6}\times0{,}6687 \approx6{,}78\times10^{5}\,\mathrm{J}.

Resposta

W_{\mathrm{iso}}\approx7,26\times10^{5}\,\mathrm{J}
W_{\mathrm{ad}}\approx6,78\times10^{5}\,\mathrm{J}

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