Exercício 12. Determine (se existirem) os valores máximos e mínimos globais das seguintes funções:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\sqrt{9+x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existirem, os valores máximos e mínimos globais da função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=\sqrt{9+x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{9+x^{2}}.
  • O domínio declarado é \mathbb{R} (todos os reais).
Perguntas claras a responder:
  • Existe mínimo global? Se sim, qual é o valor mínimo e em que ponto(s) é atingido?
  • Existe máximo global? Se sim, qual é o valor máximo e em que ponto(s) é atingido?

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar domínio e regularidade (isso ajuda a escolher método).
  • A expressão dentro da raiz é 9+x^{2}. Como x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se 9+x^{2}\ge 9>0. Portanto a raiz está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: o domínio é \mathbb{R}.
  • A função é composição de funções suaves ( x\mapsto x^{2} e t\mapsto\sqrt{t} para t>0), logo f é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}. Isso garante que procurar extremos críticos por derivada é uma opção válida.

Passo 3

Método direto e rápido (inequação simples) — boa dica de prova:
  • Para todo x vale x^{2}\ge 0. Somando 9 aos dois lados, 9+x^{2}\ge 9.
  • Aplicando a função raiz (que é crescente para argumentos positivos), obtemos \sqrt{9+x^{2}}\ge \sqrt{9}=3.
  • Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
f(x)=\sqrt{9+x^{2}}\ge 3.
  • Igualdade ocorre quando 9+x^{2}=9, isto é quando x^{2}=0 x=0.
  • Conclusão parcial: f tem um menor valor possível igual a 3, atingido em x=0. Assim existe mínimo global f(0)=3.
Comentário prático: esse raciocínio é o mais rápido na prova — reconhecer que x^{2}\ge0 dá a menor possível da raiz sem precisar derivar.

Passo 4

Método via derivada (para praticar/confirmar e aprender a técnica):
  • Lembrete rápido sobre derivada: se g(t)=\sqrt{t} = t^{1/2} e t=h(x), então g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2} e por cadeia f'(x)=\tfrac{1}{2}(h(x))^{-1/2}\cdot h'(x).
  • Aqui h(x)=9+x^{2} e h'(x)=2x. Assim
f'(x)=\frac{1}{2}(9+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{9+x^{2}}}.
  • Pontos críticos: resolver f'(x)=0 e onde f' não existe. Como o denominador é sempre positivo, f' existe para todo x. A equação f'(x)=0 x=0.
  • Portanto há um único ponto crítico em x=0.

Passo 5

Teste da segunda derivada e convexidade (para classificar o crítico e justificar globalidade):
  • Calcular f''(x). Partindo de f'(x)=x(9+x^{2})^{-1/2}, usa-se o produto/ cadeia:
f''(x)=\left(9+x^{2}\right)^{-1/2} + x\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(9+x^{2}\right)^{-3/2}\cdot 2x.
  • Simplificando os termos:
f''(x)=(9+x^{2})^{-1/2} - \frac{x^{2}}{(9+x^{2})^{3/2}} =\frac{9+x^{2}-x^{2}}{(9+x^{2})^{3/2}} =\frac{9}{(9+x^{2})^{3/2}}.
  • Observação: para todo x, o numerador 9>0 e o denominador (9+x^{2})^{3/2}>0, então
f''(x)=\frac{9}{(9+x^{2})^{3/2}}>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: f é estritamente convexa (curvatura positiva em todo lugar). Em função convexa, qualquer mínimo local é também mínimo global. Como o único ponto crítico é x=0 e ali f''(0)>0, x=0 é um mínimo local e, por convexidade, é o mínimo global.

Passo 6

Mostrando que não existe máximo global:
  • Observe que para todo x,
f(x)=\sqrt{9+x^{2}}\ge \sqrt{x^{2}}=|x|.
  • Quando |x|\to\infty, temos |x|\to\infty, logo f(x)\to\infty. Em particular a função é ilimitada superiormente.
  • Conclusão: não existe valor máximo global (a função cresce sem limite quando |x| aumenta).

Passo 7

Resumo final e dica de prova:
  • Melhor caminho rápido na prova: usar a desigualdade x^{2}\ge0 para obter \sqrt{9+x^{2}}\ge3 e verificar que a igualdade ocorre em x=0. Isso resolve o mínimo imediatamente.
  • A verificação via derivada/segunda derivada confirma e ensina a técnica de extremos (útil quando a desigualdade direta não é óbvia).
  • Para o máximo: mostrar que a função é crescente em módulo de x e tende a infinito, então não há máximo.

Resposta

Mínimo global: f(0)=3, atingido em x=0.
Máximo global: não existe (a função é ilimitada superiormente).

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