Exercício 12. Determine (se existirem) os valores máximos e mínimos globais das seguintes funções:
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, se existirem, os valores máximos e mínimos globais da função
definida por
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio declarado é
(todos os reais).
Perguntas claras a responder:
- Existe mínimo global? Se sim, qual é o valor mínimo e em que ponto(s) é atingido?
- Existe máximo global? Se sim, qual é o valor máximo e em que ponto(s) é atingido?
Passo 2
Primeiro passo técnico: verificar domínio e regularidade (isso ajuda a escolher método).
- A expressão dentro da raiz é
. Como para todo , tem-se . Portanto a raiz está bem definida para todo . - Conclusão: o domínio é
. - A função é composição de funções suaves (
e para ), logo é contínua e diferenciável em todo . Isso garante que procurar extremos críticos por derivada é uma opção válida.
Passo 3
Método direto e rápido (inequação simples) — boa dica de prova:
- Para todo
vale . Somando aos dois lados, . - Aplicando a função raiz (que é crescente para argumentos positivos), obtemos
. - Portanto, para todo
,
- Igualdade ocorre quando
, isto é quando ⇨ . - Conclusão parcial:
tem um menor valor possível igual a , atingido em . Assim existe mínimo global .
Comentário prático: esse raciocínio é o mais rápido na prova — reconhecer que
dá a menor possível da raiz sem precisar derivar.
Passo 4
Método via derivada (para praticar/confirmar e aprender a técnica):
- Lembrete rápido sobre derivada: se
e , então e por cadeia . - Aqui
e . Assim
- Pontos críticos: resolver
e onde não existe. Como o denominador é sempre positivo, existe para todo . A equação dá . - Portanto há um único ponto crítico em
.
Passo 5
Teste da segunda derivada e convexidade (para classificar o crítico e justificar globalidade):
- Calcular
. Partindo de , usa-se o produto/ cadeia:
- Simplificando os termos:
- Observação: para todo
, o numerador e o denominador , então
- Conclusão:
é estritamente convexa (curvatura positiva em todo lugar). Em função convexa, qualquer mínimo local é também mínimo global. Como o único ponto crítico é e ali , é um mínimo local e, por convexidade, é o mínimo global.
Passo 6
Mostrando que não existe máximo global:
- Observe que para todo
,
- Quando
, temos , logo . Em particular a função é ilimitada superiormente. - Conclusão: não existe valor máximo global (a função cresce sem limite quando
aumenta).
Passo 7
Resumo final e dica de prova:
- Melhor caminho rápido na prova: usar a desigualdade
para obter e verificar que a igualdade ocorre em . Isso resolve o mínimo imediatamente. - A verificação via derivada/segunda derivada confirma e ensina a técnica de extremos (útil quando a desigualdade direta não é óbvia).
- Para o máximo: mostrar que a função é crescente em módulo de
e tende a infinito, então não há máximo.
Resposta
Mínimo global:
, atingido em
.
Máximo global: não existe (a função é ilimitada superiormente).
Máximo global: não existe (a função é ilimitada superiormente).