Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
dada por
Passo 1
O enunciado pede: determinar os intervalos onde a função
dada por
é crescente e onde é decrescente.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Domínio ainda não explicitado no enunciado (temos que verificar se
está bem definido para todos os ).
Passo 2
O que significa “crescente” e “decrescente” e como testar isso na prática:
- Formalmente,
é crescente em um intervalo se, para quaisquer com , vale . É estritamente crescente se sempre que . - Analogamente,
é decrescente em se implica ; estritamente decrescente se a desigualdade for estrita. - Um teste prático muito usado: se
é diferenciável em e para todo então é (estritamente) crescente em ; se para todo então é (estritamente) decrescente em . Se muda de sinal num ponto, esse ponto costuma ser um extremo local.
Passo 3
Determinar o domínio de
:
- A função logarítmica
exige . Aqui . - Para todo
tem-se , logo . - Portanto o argumento do logaritmo é sempre positivo e o domínio é todo
.
Passo 4
Calcular a derivada de
passo a passo (regra da cadeia):
- Seja
. Então . - Derivada da função logarítmica: se
e é diferenciável, então . - Aqui
. - Portanto
Passo 5
Analisar o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para todo (como vimos no domínio). - O fator
no numerador é positivo e não altera o sinal; logo o sinal de é o mesmo que o sinal de . - Observação sobre
: - Se
então , logo . - Se
então , logo . - Se
então , logo .
- Se
- Conclusão:
para todo ; em ; para todo .
Passo 6
Interpretação em termos de crescimento/decrescimento:
- Como
em todo o intervalo , a função é (estritamente) decrescente em . - Como
em todo o intervalo , a função é (estritamente) crescente em . - No ponto
temos e o sinal de muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), portanto é um mínimo local. O valor nesse ponto é .
Passo 7
Verificação numérica rápida (para intuição):
- Calcular alguns valores:
-
. -
. -
.
-
- Observa-se
e , consistente com decrescer até e crescer depois de .