Exercício 11. Determine os intervalos em que as seguintes funções são crescentes e os intervalos em que elas são decrescentes:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\ln \left(x^{4}+27\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar os intervalos onde a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=\ln\!\bigl(x^{4}+27\bigr) é crescente e onde é decrescente.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\ln\!\bigl(x^{4}+27\bigr).
  • Domínio ainda não explicitado no enunciado (temos que verificar se \ln está bem definido para todos os x).

Passo 2

O que significa “crescente” e “decrescente” e como testar isso na prática:
  • Formalmente, f é crescente em um intervalo I se, para quaisquer x_1,x_2\in I com x_1<x_2, vale f(x_1)\le f(x_2). É estritamente crescente se f(x_1)<f(x_2) sempre que x_1<x_2.
  • Analogamente, f é decrescente em I se x_1<x_2 implica f(x_1)\ge f(x_2); estritamente decrescente se a desigualdade for estrita.
  • Um teste prático muito usado: se f é diferenciável em I e f'(x)>0 para todo x\in I então f é (estritamente) crescente em I; se f'(x)<0 para todo x\in I então f é (estritamente) decrescente em I. Se f' muda de sinal num ponto, esse ponto costuma ser um extremo local.

Passo 3

Determinar o domínio de f:
  • A função logarítmica \ln(t) exige t>0. Aqui t=x^{4}+27.
  • Para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{4}\ge 0, logo x^{4}+27\ge 27>0.
  • Portanto o argumento do logaritmo é sempre positivo e o domínio é todo \mathbb{R}.

Passo 4

Calcular a derivada de f passo a passo (regra da cadeia):
  • Seja u(x)=x^{4}+27. Então f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
  • Derivada da função logarítmica: se f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr) e u é diferenciável, então f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Aqui u'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(x^{4}+27\bigr)=4x^{3}.
  • Portanto
f'(x)=\frac{4x^{3}}{x^{4}+27}.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x):
  • O denominador x^{4}+27 é sempre positivo para todo x (como vimos no domínio).
  • O fator 4 no numerador é positivo e não altera o sinal; logo o sinal de f'(x) é o mesmo que o sinal de x^{3}.
  • Observação sobre x^{3}:
    • Se x>0 então x^{3}>0, logo f'(x)>0.
    • Se x<0 então x^{3}<0, logo f'(x)<0.
    • Se x=0 então x^{3}=0, logo f'(0)=0.
  • Conclusão: f'(x)<0 para todo x<0; f'(x)=0 em x=0; f'(x)>0 para todo x>0.

Passo 6

Interpretação em termos de crescimento/decrescimento:
  • Como f'(x)<0 em todo o intervalo (-\infty,0), a função é (estritamente) decrescente em (-\infty,0).
  • Como f'(x)>0 em todo o intervalo (0,\infty), a função é (estritamente) crescente em (0,\infty).
  • No ponto x=0 temos f'(0)=0 e o sinal de f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), portanto x=0 é um mínimo local. O valor nesse ponto é f(0)=\ln(27).

Passo 7

Verificação numérica rápida (para intuição):
  • Calcular alguns valores:
    • f(-1)=\ln\bigl((-1)^{4}+27\bigr)=\ln(1+27)=\ln(28).
    • f(0)=\ln(27).
    • f(1)=\ln(28).
  • Observa-se f(-1)>f(0) e f(1)>f(0), consistente com decrescer até 0 e crescer depois de 0.

Resposta

f é crescente em (0,\infty).
f é decrescente em (-\infty,0).

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