Resolva:
10101010101000/11111
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado pede para dividir o número binário 10101010101000 por 11111 e transformar o resultado para octal e decimal.
Dados fornecidos (em base binária):
  • Numerador: 10101010101000
  • Denominador: 11111
O que precisa ser entregue:
  • Resultado da divisão (quociente e resto), e esse resultado convertido para octal e para decimal.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (sem pular etapas): é mais simples converter os números binários para decimal, fazer a divisão inteira (quociente e resto) em decimal para evitar erros, e depois converter o quociente (e o resto, se necessário) para octal e, se quiser, voltar ao binário. Vou mostrar também como converter entre bases para você aprender.
Breve lembrando como converter binário para decimal:
  • Um número binário com dígitos b_k b_{k-1}\dots b_1 b_0 vale
\sum_{i=0}^{k} b_i 2^{i},
onde cada b_i é 0 ou 1.

Passo 3

Converter o numerador binário 10101010101000 para decimal aplicando a soma das potências de 2. Escrevendo os bits com seus pesos (do mais significativo ao menos significativo):
10101010101000 = 1\cdot 2^{13} + 0\cdot 2^{12} + 1\cdot 2^{11} + 0\cdot 2^{10} + 1\cdot 2^{9} + 0\cdot 2^{8} + 1\cdot 2^{7} + 0\cdot 2^{6} + 1\cdot 2^{5} + 0\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 0\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 0\cdot 2^{0}.
Agora calcule os termos que são 1:
2^{13}=8192,\quad 2^{11}=2048,\quad 2^{9}=512,\quad 2^{7}=128,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{3}=8.
Somando:
8192+2048+512+128+32+8 = 10920.
Portanto o numerador em decimal é 10920.

Passo 4

Converter o denominador binário 11111 para decimal:
11111 = 1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0} = 16+8+4+2+1 = 31.
Portanto o denominador em decimal é 31.

Passo 5

Fazer a divisão inteira em decimal: dividir 10920 por 31.
Calcule o quociente inteiro e o resto:
  • 31\cdot 352 = 31\cdot(350+2)=31\cdot350+31\cdot2=10850+62=10912.
  • Subtraindo do numerador: 10920-10912=8.
Logo o quociente é 352 e o resto é 8. Podemos também escrever o valor exato como fração:
\text{valor exato} = 352 + \frac{8}{31}.
Se desejar a forma decimal aproximada:
352+\frac{8}{31}\approx 352{,}258064516129\ldots

Passo 6

Agora converter o quociente 352 (decimal) para binário e para octal, e converter o resto 8 também.
Primeiro converter 352 para binário (método por potências de 2 ou divisões sucessivas):
  • Observando potências: 2^{8}=256 cabe em 352. Subtraindo: 352-256=96.
  • 96 = 64 + 32 = 2^{6}+2^{5}. Então os bits 8,6,5 são 1; os demais (7,4,3,2,1,0) são 0.
Escrevendo do bit 8 ao bit 0: 1\;0\;1\;1\;0\;0\;0\;0\;0. Logo
352_{10} = 101100000_{2}.
Verificação rápida: 2^{8}+2^{6}+2^{5}=256+64+32=352.
Converter 352_{10} para octal: método direto por agrupar o binário em grupos de 3 bits (da direita para a esquerda) ou divisão por 8.
Usando agrupamento do binário 101100000: agrupar em três bits a partir da direita:
\underbrace{101}_{5}\\ \underbrace{100}_{4}\\ \underbrace{000}_{0}
Portanto em octal os grupos dão os dígitos 5,4,0, isto é
352_{10} = 540_{8}.
Converter o resto 8:
  • Em decimal é 8.
  • Em binário: 8_{10} = 1000_{2}.
  • Em octal: 8_{10} = 10_{8} (porque 8 = 1\cdot 8 + 0).

Passo 7

Resumo dos resultados e checagem final (tudo consistente):
  • Divisão binária 10101010101000 \div 11111 dá quociente 101100000_{2} e resto 1000_{2}.
  • Em decimal: quociente 352 e resto 8.
  • Em octal: quociente 540_{8} e resto 10_{8}.
  • Valor exato decimal (com fração): 352+\dfrac{8}{31}\approx 352{,}258064516129\ldots.

Resposta

540_{8},\\\ 352

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