Resolva:
10001111000101/10100
Transformar o resultado para Octal e Decimal

Passo 1

O enunciado dá a divisão em binário e pede para transformar o resultado para octal e decimal.
  • Dividend o (binário): 10001111000101.
  • Divisor (binário): 10100.
O que é pedido:
  • Fazer a divisão inteira \dfrac{10001111000101}{10100} em binário (achar quociente e resto).
  • Converter o quociente (e, se quiser, o resto) para octal e para decimal.

Passo 2

Conceito rápido (sem palavrões técnicos): dividir em binário é igual à divisão em base 10, só que cada comparação/subtração é feita em base 2. Uma forma prática é trabalhar por deslocamentos do divisor (ou seja, testar se o divisor multiplicado por potências de 2 cabe no valor restante). Em termos numéricos isso equivale a verificar, para cada posição i do quociente, se
\text{divisor}\times 2^{i}\le \text{valor\_restante}.
Se couber, coloca-se 1 naquela posição do quociente e subtrai-se; caso contrário, coloca-se 0 e segue-se para a próxima posição.
Também vale lembrar:
  • Para converter binário para decimal soma-se os bits multiplicados por potências de 2.
  • Para converter binário para octal agrupa-se os bits em trios (a partir da direita) e converte cada trio para um dígito octal.

Passo 3

Calculemos primeiro os valores decimais (só para verificar mentalmente e facilitar alguns passos; tudo aqui está em TeX).
  • Converter o dividendo \,10001111000101_2 para decimal:
10001111000101_2 = 2^{13}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{2}+2^{0}
=8192+512+256+128+64+4+1 = 9157.
  • Converter o divisor \,10100_2 para decimal:
10100_2 = 2^{4}+2^{2}=16+4=20.
Ou seja, em decimal estamos dividindo 9157 por 20. Isso já dá uma ideia do quociente (por comparação rápida): 20\cdot 457 = 9140, sobrando 17. Vamos fazer o procedimento binário sistemático para obter o quociente em binário.

Passo 4

Método por deslocamentos (teste para cada potência de 2). O número de posições possíveis no quociente é n-m+1, com n comprimento do dividendo e m do divisor. Aqui n=14, m=5, então há até 10 posições (índices 9 a 0). Vamos testar de i=9 até i=0 se 20\cdot2^{i} cabe no valor restante (começando o valor restante em 9157):
  • Para i=9: 20\cdot2^{9}=20\cdot512=10240>9157\Rightarrow q_9=0.
  • Para i=8: 20\cdot2^{8}=20\cdot256=5120\le9157\Rightarrow q_8=1. Subtrai: 9157-5120=4037.
  • Para i=7: 20\cdot2^{7}=20\cdot128=2560\le4037\Rightarrow q_7=1. Subtrai: 4037-2560=1477.
  • Para i=6: 20\cdot2^{6}=20\cdot64=1280\le1477\Rightarrow q_6=1. Subtrai: 1477-1280=197.
  • Para i=5: 20\cdot2^{5}=20\cdot32=640>197\Rightarrow q_5=0.
  • Para i=4: 20\cdot2^{4}=20\cdot16=320>197\Rightarrow q_4=0.
  • Para i=3: 20\cdot2^{3}=20\cdot8=160\le197\Rightarrow q_3=1. Subtrai: 197-160=37.
  • Para i=2: 20\cdot2^{2}=20\cdot4=80>37\Rightarrow q_2=0.
  • Para i=1: 20\cdot2^{1}=20\cdot2=40>37\Rightarrow q_1=0.
  • Para i=0: 20\cdot2^{0}=20\cdot1=20\le37\Rightarrow q_0=1. Subtrai: 37-20=17 (resto final).
Assim os bits do quociente do mais significativo ( q_9) ao menos ( q_0) são:
q_9q_8q_7q_6q_5q_4q_3q_2q_1q_0 = 0\,1\,1\,1\,0\,0\,1\,0\,0\,1.
O bit mais à esquerda é 0, logo o quociente sem zeros à esquerda é
111001001_2.
O resto final (em decimal) é 17, que em binário é
17_{10}=10001_2.

Passo 5

Verificações rápidas que ajudam a confiar no resultado:
  • Em decimal: quociente =457 (pois 9157\div20=457 resto 17). Vamos checar que 111001001_2 é realmente 457 em decimal:
111001001_2 = 2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{3}+2^{0} =256+128+64+8+1=457.
  • Resto 10001_2=16+1=17. E 20\cdot457 +17 =9140+17=9157 (o dividendo). Está consistente.

Passo 6

Converter o quociente para octal (regra prática): agrupa-se os bits do quociente em trios a partir da direita e converte cada trio para um dígito octal.
Quociente binário: 111001001_2.
Agrupando em trios (da direita para a esquerda):
111\; 001\; 001
Cada trio para octal:
111_2=7,\qquad 001_2=1,\qquad 001_2=1.
Logo o quociente em octal é 711_8.
Converter o quociente para decimal já foi feito: 457_{10}.
Também, se quiser, resto em octal: resto binário 10001_2. Agrupando em trios (completando à esquerda com zeros):
010\;001
010_2=2,\qquad 001_2=1
Resto em octal 21_8 e em decimal 17_{10}.

Resposta

Quociente: 111001001_2 = 711_8 = 457_{10}
Resto: 10001_2 = 21_8 = 17_{10}

Exercícios relacionados