Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a inversa da função bijetora
e especificar domínio e contradomínio adequados. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão de
é . - O enunciado afirma que
é bijetora (logo tem inversa). - Precisa-se da função inversa
e dos domínios/contradomínios apropriados.
Passo 2
O que significa “inversa” de uma função: se
é bijetora, existe uma função
tal que, para todo
do domínio de
,
e para todo
no domínio de
,
Em termos práticos para encontrar
faz-se: (i) escrever
; (ii) resolver essa equação para
em função de
; (iii) trocar o nome da variável
por
para obter a fórmula da inversa.
Passo 3
Análise da função exponencial para decidir domínio/contradomínio naturais:
- A função exponencial
é sempre positiva para todo ; ou seja, . - Como
toma todos os valores reais quando varia em , a imagem de é . - Portanto, a escolha natural (e correta para que
seja bijetora) é: - domínio de
: ; - contradomínio/imagem de
: .
- domínio de
Passo 4
Agora resolver algebricamente para a inversa. Começo colocando
:
Aplicar logaritmo natural aos dois lados (lembrando que o logaritmo natural
é a função inversa de
em
):
Usando a identidade
(válida para todo
), obtemos
Passo 5
Isolar
na expressão acima:
Esta é a expressão de
em função de
. Troca-se agora o nome da variável
por
para escrever a fórmula da inversa
:
Passo 6
Especificar domínio e contradomínio da inversa
:
- O domínio de
é a imagem de , que vimos ser . - O contradomínio (imagem) de
é o domínio original de , que é .
Logo
Passo 7
Verificação rápida por composição (para ganhar segurança):
- Para
,
- Para qualquer
,
As composições retornam o valor inicial, confirmando que a função encontrada é de fato a inversa.