Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
p(x)=e^{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a inversa da função bijetora p e especificar domínio e contradomínio adequados. A função dada é
p(x)=e^{2x+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de p(x) é e^{2x+1}.
  • O enunciado afirma que p é bijetora (logo tem inversa).
  • Precisa-se da função inversa p^{-1} e dos domínios/contradomínios apropriados.

Passo 2

O que significa “inversa” de uma função: se p é bijetora, existe uma função p^{-1} tal que, para todo x do domínio de p,
p^{-1}\bigl(p(x)\bigr)=x,
e para todo y no domínio de p^{-1},
p\bigl(p^{-1}(y)\bigr)=y.
Em termos práticos para encontrar p^{-1} faz-se: (i) escrever y=p(x); (ii) resolver essa equação para x em função de y; (iii) trocar o nome da variável y por x para obter a fórmula da inversa.

Passo 3

Análise da função exponencial para decidir domínio/contradomínio naturais:
  • A função exponencial e^{t} é sempre positiva para todo t\in\mathbb{R}; ou seja, e^{t}\in(0,\infty).
  • Como 2x+1 toma todos os valores reais quando x varia em \mathbb{R}, a imagem de p é (0,\infty).
  • Portanto, a escolha natural (e correta para que p seja bijetora) é:
    • domínio de p: \mathbb{R};
    • contradomínio/imagem de p: (0,\infty).

Passo 4

Agora resolver algebricamente para a inversa. Começo colocando y=p(x):
y=e^{2x+1}.
Aplicar logaritmo natural aos dois lados (lembrando que o logaritmo natural \ln é a função inversa de e^{(\cdot)} em (0,\infty)):
\ln y = \ln\bigl(e^{2x+1}\bigr).
Usando a identidade \ln\bigl(e^{u}\bigr)=u (válida para todo u\in\mathbb{R}), obtemos
\ln y = 2x+1.

Passo 5

Isolar x na expressão acima:
2x = \ln y - 1,
x = \frac{\ln y - 1}{2}.
Esta é a expressão de x em função de y. Troca-se agora o nome da variável y por x para escrever a fórmula da inversa p^{-1}:
p^{-1}(x)=\frac{\ln x - 1}{2}.

Passo 6

Especificar domínio e contradomínio da inversa p^{-1}:
  • O domínio de p^{-1} é a imagem de p, que vimos ser (0,\infty).
  • O contradomínio (imagem) de p^{-1} é o domínio original de p, que é \mathbb{R}.
    Logo
\operatorname{dom}\bigl(p^{-1}\bigr)=(0,\infty),\qquad \operatorname{im}\bigl(p^{-1}\bigr)=\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida por composição (para ganhar segurança):
  • Para x>0,
p\bigl(p^{-1}(x)\bigr)=\exp\!\left(2\cdot\frac{\ln x - 1}{2}+1\right) =\exp\!\left(\ln x -1 +1\right)=\exp(\ln x)=x.
  • Para qualquer x\in\mathbb{R},
p^{-1}\bigl(p(x)\bigr)=\frac{\ln\bigl(e^{2x+1}\bigr)-1}{2}=\frac{2x+1-1}{2}=x.
As composições retornam o valor inicial, confirmando que a função encontrada é de fato a inversa.

Resposta

p^{-1}(x)=\dfrac{\ln x - 1}{2} com domínio (0,\infty) e contradomínio \mathbb{R}.

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