Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
q(x)=\ln (x)-1, com domínio (0,+\infty)

Passo 1

O enunciado dá a função q definida por
q(x)=\ln(x)-1,
com domínio (0,+\infty), e pede para determinar a função inversa, especificando domínio e contradomínio adequados.

Passo 2

O que significa “função inversa”? Seja uma função bijetora q\colon A\to B. A inversa q^{-1}\colon B\to A é a função que satisfaz, para todo x\in A e todo y\in B,
q^{-1}(q(x))=x \qquad\text{e}\qquad q(q^{-1}(y))=y.
Na prática, para encontrar q^{-1} coloca-se y=q(x) e resolve-se essa equação para x em função de y.

Passo 3

Antes de achar a fórmula da inversa, é útil confirmar que a função é realmente bijetora sobre o contradomínio natural que vamos escolher.
  • Injetividade (não colide valores): a função \ln(x) é estritamente crescente em (0,+\infty). Subtrair 1 não muda a monotonicidade, logo q(x)=\ln(x)-1 também é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente em um intervalo é injetiva. Formalmente, pode-se ver pela derivada:
\frac{d}{dx}(\ln(x)-1)=\frac{1}{x}>0\quad\text{para todo }x>0,
o que confirma crescimento estrito.
  • Sobrejetividade (atinge todos os valores reais): calcule os limites nas extremidades do domínio:
\lim_{x\to0^+}\ln(x)-1 = -\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\ln(x)-1 = +\infty.
Como a função é contínua e vai de -\infty a +\infty, seu conjunto imagem é \mathbb{R}. Portanto, escolhendo o contradomínio como \mathbb{R}, a função é sobrejetora. Concluímos que
q\colon (0,+\infty)\to\mathbb{R}
é bijetora, então tem inversa definida em \mathbb{R}.

Passo 4

Agora encontramos a fórmula da inversa usando o procedimento padrão: escrevemos y=q(x) e isolamos x.
y=\ln(x)-1.
Somamos 1 em ambos os lados:
y+1=\ln(x).
Aplicamos a função exponencial (a inversa do logaritmo natural) a ambos os lados para isolar x:
x=e^{\,y+1}.
Portanto, em função de y,
x=q^{-1}(y)=e^{\,y+1}.

Passo 5

Verificação rápida (para ter confiança): compor q com q^{-1}.
q(q^{-1}(y))=\ln\big(e^{\,y+1}\big)-1=(y+1)-1=y,
e
q^{-1}(q(x))=e^{\,(\ln(x)-1)+1}=e^{\ln(x)}=x.
As composições retornam os argumentos, como deve acontecer com inversas.

Passo 6

Interpretação final e nota prática: a inversa recebe qualquer y\in\mathbb{R} e devolve um x>0 dando x=e^{y+1}. Um exemplo numérico rápido para fixar: se y=1 então q^{-1}(1)=e^{1+1}=e^2; confira que q(e^2)=\ln(e^2)-1=2-1=1.

Resposta

q^{-1}\colon \mathbb{R}\to(0,+\infty), \quad q^{-1}(y)=e^{\,y+1}

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