Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
, com domínio
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com domínio
, e pede para determinar a função inversa, especificando domínio e contradomínio adequados.
Passo 2
O que significa “função inversa”? Seja uma função bijetora
. A inversa
é a função que satisfaz, para todo
e todo
,
Na prática, para encontrar
coloca-se
e resolve-se essa equação para
em função de
.
Passo 3
Antes de achar a fórmula da inversa, é útil confirmar que a função é realmente bijetora sobre o contradomínio natural que vamos escolher.
- Injetividade (não colide valores): a função
é estritamente crescente em . Subtrair 1 não muda a monotonicidade, logo também é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente em um intervalo é injetiva. Formalmente, pode-se ver pela derivada:
o que confirma crescimento estrito.
- Sobrejetividade (atinge todos os valores reais): calcule os limites nas extremidades do domínio:
Como a função é contínua e vai de
a
, seu conjunto imagem é
. Portanto, escolhendo o contradomínio como
, a função é sobrejetora. Concluímos que
é bijetora, então tem inversa definida em
.
Passo 4
Agora encontramos a fórmula da inversa usando o procedimento padrão: escrevemos
e isolamos
.
Somamos
em ambos os lados:
Aplicamos a função exponencial (a inversa do logaritmo natural) a ambos os lados para isolar
:
Portanto, em função de
,
Passo 5
Verificação rápida (para ter confiança): compor
com
.
e
As composições retornam os argumentos, como deve acontecer com inversas.
Passo 6
Interpretação final e nota prática: a inversa recebe qualquer
e devolve um
dando
. Um exemplo numérico rápido para fixar: se
então
; confira que
.