Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
, com
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- Determinar a inversa de
, ou seja, a função . - Especificar o domínio e o contradomínio (imagem) adequados da inversa.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
. - A restrição
(domínio de já indicado no enunciado). - O enunciado afirma que
é bijetora (logo tem inversa).
Passo 2
Método padrão para achar a inversa (aqui explicado passo a passo): tomar
, resolver essa igualdade para
em função de
, e então trocar o papel de
e
para escrever a fórmula de
. Começamos então por escrever
Passo 3
Multiplicar ambos os lados da igualdade por
para eliminar o denominador. Como sabemos
, essa multiplicação é legítima:
Passo 4
Distribuir o
no lado esquerdo e reunir os termos que contêm
num mesmo membro:
Passar todos os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Passo 5
Fatorar
no lado esquerdo:
Agora, desde que
, podemos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Passo 6
Explicar por que precisamos exigir
: na operação acima dividimos por
, então
seria proibido. Além disso, devemos verificar se existe algum
que produza
(ou seja, se
pertence à imagem de
). Resolver
leva a
, o que é impossível (
). Portanto não existe
com
. Logo
nunca ocorre como valor de
, e faz sentido que a imagem exclua
.
Passo 7
Concluir a forma da inversa: a relação invertida é
com
. Interpretando isso como função inversa, escrevemos
Renomeando a variável de saída
para o habitual
(apenas mudança de letra), obtemos a expressão prática da inversa:
Passo 8
Identificação do domínio e contradomínio da inversa. O domínio de
é a imagem de
. Pelo passo anterior vimos que a imagem de
é
(todos os reais exceto
). Portanto:
- Domínio de
: . - Contradomínio (imagem) de
: como tem domínio e é bijetora sobre , a imagem de também é .
Passo 9
Verificação rápida (uma boa prática para a prova): mostrar que
é sua própria inversa, ou seja,
para todo
. Calcular
Simplificar numerador e denominador colocando sobre o mesmo denominador
:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Dividindo numerador por denominador:
Isso confirma que a fórmula encontrada realmente é a inversa e que não há problemas de domínio além de
.