Exercício 12. Determine a inversa das seguintes funções bijetoras, especificando domínio e contradomínio adequados:
g(x)=\frac{x+2}{x-1}, com x \neq 1

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por
g(x)=\frac{x+2}{x-1}, \qquad x\neq1.
O que é pedido:
  • Determinar a inversa de g, ou seja, a função g^{-1}.
  • Especificar o domínio e o contradomínio (imagem) adequados da inversa.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de g(x).
  • A restrição x\neq1 (domínio de g já indicado no enunciado).
  • O enunciado afirma que g é bijetora (logo tem inversa).

Passo 2

Método padrão para achar a inversa (aqui explicado passo a passo): tomar y=g(x), resolver essa igualdade para x em função de y, e então trocar o papel de x e y para escrever a fórmula de g^{-1}. Começamos então por escrever
y=\frac{x+2}{x-1}, \qquad x\neq1.

Passo 3

Multiplicar ambos os lados da igualdade por x-1 para eliminar o denominador. Como sabemos x\neq1, essa multiplicação é legítima:
y(x-1)=x+2.

Passo 4

Distribuir o y no lado esquerdo e reunir os termos que contêm x num mesmo membro:
yx-y=x+2.
Passar todos os termos com x para um lado e os demais para o outro:
yx-x = y+2.

Passo 5

Fatorar x no lado esquerdo:
x(y-1)=y+2.
Agora, desde que y-1\neq0, podemos dividir ambos os lados por y-1 para isolar x:
x=\frac{y+2}{y-1}, \qquad y\neq1.

Passo 6

Explicar por que precisamos exigir y\neq1: na operação acima dividimos por y-1, então y=1 seria proibido. Além disso, devemos verificar se existe algum x que produza y=1 (ou seja, se 1 pertence à imagem de g). Resolver
\frac{x+2}{x-1}=1
leva a x+2=x-1, o que é impossível ( 2=-1). Portanto não existe x com g(x)=1. Logo y=1 nunca ocorre como valor de g, e faz sentido que a imagem exclua 1.

Passo 7

Concluir a forma da inversa: a relação invertida é x=\dfrac{y+2}{y-1} com y\neq1. Interpretando isso como função inversa, escrevemos
g^{-1}(y)=\frac{y+2}{y-1}, \qquad y\neq1.
Renomeando a variável de saída y para o habitual x (apenas mudança de letra), obtemos a expressão prática da inversa:
g^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-1}, \qquad x\neq1.

Passo 8

Identificação do domínio e contradomínio da inversa. O domínio de g^{-1} é a imagem de g. Pelo passo anterior vimos que a imagem de g é \mathbb{R}\setminus\{1\} (todos os reais exceto 1). Portanto:
  • Domínio de g^{-1}: \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Contradomínio (imagem) de g^{-1}: como g tem domínio \mathbb{R}\setminus\{1\} e é bijetora sobre \mathbb{R}\setminus\{1\}, a imagem de g^{-1} também é \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 9

Verificação rápida (uma boa prática para a prova): mostrar que g é sua própria inversa, ou seja, g(g(x))=x para todo x\neq1. Calcular
g(g(x))= \frac{\dfrac{x+2}{x-1}+2}{\dfrac{x+2}{x-1}-1}.
Simplificar numerador e denominador colocando sobre o mesmo denominador x-1:
Numerador:
\frac{x+2}{x-1}+2=\frac{x+2+2(x-1)}{x-1}=\frac{3x}{x-1}.
Denominador:
\frac{x+2}{x-1}-1=\frac{x+2-(x-1)}{x-1}=\frac{3}{x-1}.
Dividindo numerador por denominador:
g(g(x))=\frac{\dfrac{3x}{x-1}}{\dfrac{3}{x-1}}=\frac{3x}{x-1}\cdot\frac{x-1}{3}=x.
Isso confirma que a fórmula encontrada realmente é a inversa e que não há problemas de domínio além de x\neq1.

Resposta

g^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{x-1}, com domínio \mathbb{R}\setminus\{1\} e contradomínio (imagem) \mathbb{R}\setminus\{1\}.

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