Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem: \frac{2}{7}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{7}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+\cdots
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
existe e L<1, então a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. “Converge absolutamente” significa que a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge, e isso implica que a série original \sum a_n também converge.
Aqui temos a_n=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}. Calculo a razão:
Como \dfrac{2}{7}<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente, logo converge.
(Dica rápida: a presença de (2/7)^n já era um forte indício de convergência porque 2/7 é um número com valor absoluto menor que 1; o fator 1/n só torna os termos ainda menores.)
Passo 3
Agora, além de saber que a série converge, é útil (e elegante) encontrar o valor da soma. Para isso uso uma identidade clássica de séries de potências, que vou deduzir de maneira simples.
Começo pela série geométrica conhecida (válida para |x|<1):
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Explico rapidinho por que isso é verdade: ao multiplicar ambos os lados por 1-x obtém-se 1 no numerador; é a soma infinita padrão da geométrica quando |x|<1.
Agora integro membro a membro (isso é legítimo para |x|<1 no intervalo de integração a partir de 0) para gerar uma nova série:
Integrando \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} termo a termo entre 0 e x obtemos