Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
\frac{2}{7}+\frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{7}\right)^{3}+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}+\cdots

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}.
  • Os termos são \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n} com n variando de 1 até +\infty.
  • A pergunta principal é: a série converge ou diverge? (Se for convergente, normalmente é útil também encontrar o valor da soma.)

Passo 2

Vamos testar a convergência usando o Teste da Razão (uma ferramenta comum e simples para séries com fator exponencial).
Primeiro, explico o Teste da Razão de forma simples: para uma série com termos a_n, se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe e L<1, então a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. “Converge absolutamente” significa que a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge, e isso implica que a série original \sum a_n também converge.
Aqui temos a_n=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}. Calculo a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2}{7}\right)^{n}} = \frac{n}{n+1}\cdot\frac{2}{7}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{2}{7}=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\right)\cdot\frac{2}{7}=1\cdot\frac{2}{7}=\frac{2}{7}.
Como \dfrac{2}{7}<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente, logo converge.
(Dica rápida: a presença de (2/7)^n já era um forte indício de convergência porque 2/7 é um número com valor absoluto menor que 1; o fator 1/n só torna os termos ainda menores.)

Passo 3

Agora, além de saber que a série converge, é útil (e elegante) encontrar o valor da soma. Para isso uso uma identidade clássica de séries de potências, que vou deduzir de maneira simples.
Começo pela série geométrica conhecida (válida para |x|<1):
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Explico rapidinho por que isso é verdade: ao multiplicar ambos os lados por 1-x obtém-se 1 no numerador; é a soma infinita padrão da geométrica quando |x|<1.
Agora integro membro a membro (isso é legítimo para |x|<1 no intervalo de integração a partir de 0) para gerar uma nova série:
  • Integrando \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} termo a termo entre 0 e x obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}t^{n}\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\,dt.
  • A integral no lado esquerdo dá
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.
  • A integral no lado direito é -\ln(1-x) (para |x|<1 e tomando a primitiva que vale 0 em x=0). Portanto obtemos a identidade
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x),\qquad\text{para }|x|<1.

Passo 4

Aplicando a identidade com x=\dfrac{2}{7} (note que \left|\dfrac{2}{7}\right|<1, condição satisfeita), temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{2}{7}\right)^{n}=-\ln\!\left(1-\frac{2}{7}\right)=-\ln\!\left(\frac{5}{7}\right).
Podemos simplificar o logaritmo:
-\ln\!\left(\frac{5}{7}\right)=\ln\!\left(\frac{7}{5}\right).
Se quiser um valor numérico aproximado,
\ln\!\left(\frac{7}{5}\right)\approx 0{,}336472.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge) e seu somatório é \ln\!\left(\dfrac{7}{5}\right).

Exercícios relacionados