A altitude numa montanha é dada pela função:
z=f(x, y)=4 e^{-\frac{\left(\frac{x}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{k_{2}}\right)^{2}}{3}}+2 e^{-(x-m)^{2}-(y-n)^{2}}
Onde x, y e z são dados em centenas de metros. Deseja-se tornar esta montanha em local de turismo sustentável. Para preservar o entorno da montanha, a prefeitura considera uma delimitação de 1500 metros em relação ao ponto mais alto, nas direções norte, sul, leste e oeste.
Represente a superfície considerando a delimitação fornecida

Passo 1

O enunciado nos dá a altitude pela função
z=f(x,y)=4 e^{-\frac{\left(\frac{x}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{k_{2}}\right)^{2}}{3}}+2 e^{-(x-m)^{2}-(y-n)^{2}}
onde está explícito que x, y e z são dados em centenas de metros. A prefeitura quer delimitar a área em torno do ponto mais alto da montanha, por 1500 metros nas direções norte, sul, leste e oeste (ou seja, um trecho de \pm 1500 m em cada direção a partir do ponto mais alto). O que precisamos devolver é uma representação da superfície respeitando essa delimitação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função f(x,y) é a soma de duas “colinas” (duas funções gaussianas centradas em (0,0) e em (m,n)).
  • As variáveis x e y estão em centenas de metros. Portanto 1500 metros correspondem a 15 unidades na escala de x,y.
  • A delimitação pedida é um retângulo alinhado com os eixos (norte/sul = variação em y, leste/oeste = variação em x) de raio 15 (em unidades de x,y) em torno do ponto de altitude máxima.
  • O enunciado não forneceu valores numéricos para k_{1}, k_{2}, m e n. Portanto a resposta precisa ficar em termos destes parâmetros, ou apresentar um procedimento que funcione para qualquer valor deles.

Passo 2

Primeiro passo prático: localizar o ponto mais alto (o máximo global) de f. Uma observação útil: cada termo da soma é uma gaussiana com seu pico no centro da gaussiana:
  • O primeiro termo 4 e^{-\frac{(\frac{x}{k_1})^2+(\frac{y}{k_2})^2}{3}} atinge seu máximo em (x,y)=(0,0), com valor
f(0,0)=4 + 2 e^{-m^{2}-n^{2}}.
  • O segundo termo 2 e^{-(x-m)^2-(y-n)^2} atinge seu máximo em (x,y)=(m,n), com valor
f(m,n)=2 + 4 e^{-\frac{\left(\frac{m}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{n}{k_{2}}\right)^{2}}{3}}.
Essas duas avaliações nos dão os valores dos picos individuais. Como f é a soma dessas duas campânulas, um candidato natural para máximo global é um desses centros. Então um critério simples (e prático na prova) é comparar f(0,0) e f(m,n): o ponto que tiver o valor maior é o máximo global, salvo casos excepcionais de máximos interiores gerados pela sobreposição das duas gaussianas (vou comentar isso a seguir).

Passo 3

Explicando por que comparar esses dois pontos faz sentido (cadeia de raciocínio didática, sem pular etapas):
  • Cada termo é differentiable e tem seu ponto mais alto exatamente no centro da gaussiana (porque a exponencial e^{-(\cdots)} é máxima quando o expoente é zero). Logo os candidatos naturais a máximo global são os centros (0,0) e (m,n).
  • Para garantir que não exista outro máximo entre eles, poderíamos resolver \nabla f(x,y)=0. Vou calcular as derivadas parciais para você ver a forma das equações (isso mostra por que, sem valores numéricos, fica difícil resolver fechadamente):
Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}. Use regra da cadeia: se g(x)=e^{h(x)} então g'(x)=h'(x)e^{h(x)}.
Para o primeiro termo, defina
A(x,y)=4 e^{-\frac{\left(\frac{x}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{k_{2}}\right)^{2}}{3}}.
O expoente é -\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{x^{2}}{k_{1}^{2}}+\dfrac{y^{2}}{k_{2}^{2}}\right). Então
\frac{\partial A}{\partial x} =4\cdot\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{2x}{k_{1}^{2}}\right)\cdot e^{-\frac{\left(\frac{x}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{k_{2}}\right)^{2}}{3}} = -\frac{8x}{3k_{1}^{2}}\; e^{-\frac{\left(\frac{x}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{k_{2}}\right)^{2}}{3}}.
Para o segundo termo, defina
B(x,y)=2 e^{-(x-m)^{2}-(y-n)^{2}}.
O expoente é -(x-m)^{2}-(y-n)^{2}. Então
\frac{\partial B}{\partial x} =2\cdot\left(-2(x-m)\right)\cdot e^{-(x-m)^{2}-(y-n)^{2}} = -4(x-m)\; e^{-(x-m)^{2}-(y-n)^{2}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{8x}{3k_{1}^{2}}\; e^{-\frac{\left(\frac{x}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{k_{2}}\right)^{2}}{3}} \;-\;4(x-m)\; e^{-(x-m)^{2}-(y-n)^{2}}.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{8y}{3k_{2}^{2}}\; e^{-\frac{\left(\frac{x}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y}{k_{2}}\right)^{2}}{3}} \;-\;4(y-n)\; e^{-(x-m)^{2}-(y-n)^{2}}.
Resolver o sistema \dfrac{\partial f}{\partial x}=0, \dfrac{\partial f}{\partial y}=0 de forma fechada para x e y em termos de k_{1},k_{2},m,n é, em geral, complicado — as equações envolvem somas de exponenciais com argumentos quadráticos. Por isso, para uma resposta geral e prática (e aplicável em prova), comparar f(0,0) e f(m,n) é a estratégia mais direta: quem tem maior valor é o máximo global na maioria dos casos práticos; se os dois forem iguais ou números muito próximos, aí sim recomenda-se análise numérica (pesquisa em grade fina ou método de otimização).

Passo 4

Resumo do critério prático e cases a apresentar na prova (mostrando claramente o que fazer):
  • Calcule
f(0,0)=4 + 2 e^{-m^{2}-n^{2}} \qquad\text{e}\qquad f(m,n)=2 + 4 e^{-\frac{\left(\frac{m}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{n}{k_{2}}\right)^{2}}{3}}.
  • Se f(0,0) > f(m,n), então o ponto mais alto é (x_{0},y_{0})=(0,0).
  • Se f(m,n) > f(0,0), então o ponto mais alto é (x_{0},y_{0})=(m,n).
  • Se f(0,0)=f(m,n), pode haver empate ou máximo entre os dois — nesse caso use busca numérica (por exemplo: avaliar f numa malha fina entre os centros ou aplicar gradiente ascendente num ponto inicial entre eles) para decidir.
Esse procedimento é totalmente aplicável numa prova: basta substituir os valores numéricos de k_1,k_2,m,n (se houver) e comparar diretamente.

Passo 5

Converter a delimitação pedida em termos de x,y (unidades do problema):
  • 1500 metros =1500\\ \text{m} = 15 (unidades de x,y, porque 1 unidade = 100 m).
  • Uma delimitação de 1500 m nas direções norte/sul/leste/oeste em torno do ponto mais alto define o domínio em x,y como o quadrado alinhado com os eixos
\{(x,y)\mid x_{0}-15 \le x \le x_{0}+15,\; y_{0}-15 \le y \le y_{0}+15\},
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto mais alto determinado no passo anterior (ou o ponto escolhido por empate/otimização numérica).

Passo 6

Então a representação final da superfície, respeitando a delimitação, é a função z=f(x,y) restrita ao domínio quadrangular acima. Em notação matemática clara:
  • Se (x_{0},y_{0}) é o ponto de altitude máxima (obtido comparando f(0,0) e f(m,n) ou por busca numérica), então a representação pedida é
\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\\ \middle|\\ z=f(x,y),\\ x_{0}-15 \le x \le x_{0}+15,\\ y_{0}-15 \le y \le y_{0}+15\right\}.
  • Em palavras: pegar a superfície z=f(x,y) e recortá-la pelo quadrado de lado 30 (unidades de x,y) centrado em (x_{0},y_{0}). Lembre que cada unidade em x,y corresponde a 100 metros no mundo real; assim o quadrado tem lado 30 unidades = 3000 metros, ou seja \pm 1500 metros a partir do pico.

Passo 7

Se você precisar desenhar/plotar essa superfície na prática (por exemplo para entregar o gráfico na prova ou projetar no computador), procedimento passo a passo que funciona para qualquer valores de k_{1},k_{2},m,n:
  1. Determine (x_{0},y_{0}) por comparação de f(0,0) e f(m,n) (ou por otimização numérica, se necessário).
  2. Escolha uma resolução de malha (por exemplo, tomar N pontos igualmente espaçados em cada direção do quadrado; um valor prático é N=200 para um gráfico suave).
  3. Construa uma malha regular (x_{i},y_{j}) com x_{i}=x_{0}-15 + i\cdot \dfrac{30}{N-1}, y_{j}=y_{0}-15 + j\cdot \dfrac{30}{N-1}.
  4. Avalie z_{ij}=f(x_{i},y_{j}) usando a fórmula dada.
  5. Plote a superfície z=z_{ij} sobre a malha (função de superfície 3D) ou contornos z= constante (mapa topográfico) — sempre rotular os eixos lembrando que x,y estão em centenas de metros e z também em centenas de metros (ou converter para metros multiplicando por 100).

Passo 8

Observações práticas e incentivo: se na sua prova o professor der valores para k_{1},k_{2},m,n, faça a comparação dos picos imediatamente (Passo 4). Se der valores complicados e o enunciado pedir “representar” com gráfico, não hesite em descrever o domínio explicitamente como eu fiz e, se for permitido, desenhar a superfície com uma malha simples: é aceito e prático. Você já tem todas as fórmulas necessárias — eu sei que parece muito, mas é só seguir os passos e vai dar certo. Força!

Resposta

Seja (x_{0},y_{0}) o ponto mais alto determinado comparando
f(0,0)=4 + 2 e^{-m^{2}-n^{2}} \qquad\text{e}\qquad f(m,n)=2 + 4 e^{-\frac{\left(\frac{m}{k_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{n}{k_{2}}\right)^{2}}{3}}.
A representação da superfície com a delimitação de 1500 m ( =15 unidades) em N/S/E/O é
\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\\ \middle|\\ z=f(x,y),\\ x_{0}-15 \le x \le x_{0}+15,\\ y_{0}-15 \le y \le y_{0}+15\right\}.

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