Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}+\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n \cdot(n+1)}}+\cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série cujo termo geral é
a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}},
ou seja, a série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}.
O que é pedido: determinar se essa série converge ou diverge. Informação importante dada: os termos são positivos para todo \,n\ge1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma ideia básica que vamos usar: o Teste da Comparação Direta.
  • Se temos duas séries com termos não-negativos \sum a_n e \sum b_n e, para todo n suficientemente grande, a_n \ge b_n, então, se \sum b_n diverge, também \sum a_n diverge.
  • Do mesmo modo, se a_n \le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
Vou tentar comparar nosso termo a_n com os termos da série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que é uma referência clássica (a série harmônica diverge).

Passo 3

Vamos obter uma desigualdade simples entre \sqrt{n(n+1)} e n+1. Observamos que, para todo n\ge1,
n(n+1)\le (n+1)^2,
pois isso é equivalente a n\le n+1, que é verdade. Tomando raiz quadrada dos dois lados (tudo positivo), temos
\sqrt{n(n+1)}\le n+1.
Agora tomamos recíprocos (invertendo a desigualdade, já que os termos são positivos):
\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\ge \frac{1}{n+1}.
Portanto, para todo n\ge1,
a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\ge \frac{1}{n+1}.

Passo 4

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+1} tem exatamente o mesmo comportamento da série harmônica (é apenas a série harmônica com índice deslocado): de fato,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k},
e sabe-se que a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge, logo a soma a partir de k=2 também diverge. Pelo Teste da Comparação Direta, como para todo n temos a_n\ge \dfrac{1}{n+1} e a série de termos \dfrac{1}{n+1} diverge, conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}
também diverge.

Passo 5

(Pra ajudar a intuição: outro método, equivalente, é o Teste da Comparação por Limite.) Vamos calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n(n+1)}} =\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{n+1}}=1.
Como esse limite é um número finito e positivo, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento da série \sum \dfrac{1}{n} (harmônica). E como a harmônica diverge, \sum a_n diverge. Isso confirma o resultado do Passo 4.

Passo 6

Resumo informal e incentivo: os termos da série são do mesmo tamanho assintótico que 1/n, então a série não “decai rápido o suficiente” para somar a um valor finito — ela diverge. Boa notícia: esse tipo de comparação com a harmônica é um truque muito útil na prova; você já pode riscar mais uma questão do caminho!

Resposta

A série diverge.

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