Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado nos dá a série cujo termo geral é
ou seja, a série é
O que é pedido: determinar se essa série converge ou diverge. Informação importante dada: os termos são positivos para todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma ideia básica que vamos usar: o Teste da Comparação Direta.
- Se temos duas séries com termos não-negativos
e e, para todo suficientemente grande, , então, se diverge, também diverge. - Do mesmo modo, se
e converge, então converge.
Vou tentar comparar nosso termo
com os termos da série harmônica
, que é uma referência clássica (a série harmônica diverge).
Passo 3
Vamos obter uma desigualdade simples entre
e
. Observamos que, para todo
,
pois isso é equivalente a
, que é verdade. Tomando raiz quadrada dos dois lados (tudo positivo), temos
Agora tomamos recíprocos (invertendo a desigualdade, já que os termos são positivos):
Portanto, para todo
,
Passo 4
A série
tem exatamente o mesmo comportamento da série harmônica (é apenas a série harmônica com índice deslocado): de fato,
e sabe-se que a série harmônica
diverge, logo a soma a partir de
também diverge. Pelo Teste da Comparação Direta, como para todo
temos
e a série de termos
diverge, conclui-se que
também diverge.
Passo 5
(Pra ajudar a intuição: outro método, equivalente, é o Teste da Comparação por Limite.) Vamos calcular o limite
Como esse limite é um número finito e positivo, a série
tem o mesmo comportamento da série
(harmônica). E como a harmônica diverge,
diverge. Isso confirma o resultado do Passo 4.
Passo 6
Resumo informal e incentivo: os termos da série são do mesmo tamanho assintótico que
, então a série não “decai rápido o suficiente” para somar a um valor finito — ela diverge. Boa notícia: esse tipo de comparação com a harmônica é um truque muito útil na prova; você já pode riscar mais uma questão do caminho!
Resposta
A série diverge.