A temperatura em um ponto
de uma chapa de metal é dada por
onde
é medido em
e
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em (a) a direção
e (b) a direção
.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
- A temperatura é dada por
onde está em e em metros. - O ponto onde devemos avaliar é
. - Perguntas:
(a) Determinar a taxa de variação da temperatura no pontona direção (direção do eixo , ou seja, para aumentando com fixo).
(b) Determinar a taxa de variação da temperatura no pontona direção (direção do eixo , ou seja, para aumentando com fixo).
Passo 2
O que significa "taxa de variação na direção
" e na "direção
"?
- Formalmente, a taxa de variação de
na direção de um vetor unitário no ponto é o derivada direcional
- Se as derivadas parciais existem, essa derivada direcional pode ser calculada como o produto escalar entre o gradiente e
:
onde
.
- As direções pedidas são as direções dos eixos: direção
corresponde ao vetor unitário e direção a . Portanto, as taxas pedidas são simplesmente as derivadas parciais:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Para
: ao derivar em relação a trata-se como constante. Usando que a derivada de é ,
Aqui cada símbolo significa:
-
é a taxa de variação de quando muda e é mantido fixo; -
é a coordenada onde a derivada é avaliada. -
Para
: de modo análogo, tratando como constante,
Isso mede a taxa de variação de
quando
muda e
é mantido fixo.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Substituindo em
com :
- Substituindo em
com :
- Unidades: como
está em e em metros, as taxas têm unidades .
Passo 5
Interpretação física e exemplo numérico (ajuda para lembrar na prova):
-
significa que, se eu me mover uma pequena distância em direção positiva do eixo (mantendo ), a variação aproximada da temperatura será (em ). Por exemplo, movendo em aumenta a temperatura em cerca de . -
significa que mover em (com fixo) aumenta a temperatura em cerca de . - Dica de prova: lembrar que, para funções polinomiais simples, as parciais se obtêm tratando as outras variáveis como constantes — é a maneira mais rápida durante uma prova sem calculadora.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)