A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por
T(x, y)=60\left(1+x^{2}+y^{2}\right)
onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e x e y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) em (a) a direção x e (b) a direção y.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede as seguintes coisas:
  • A temperatura é dada por T(x,y)=60\left(1+x^{2}+y^{2}\right), onde \,T está em {}^\circ\mathrm{C} e (x,y) em metros.
  • O ponto onde devemos avaliar é \,(2,1).
  • Perguntas:
    (a) Determinar a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) na direção x (direção do eixo x, ou seja, para x aumentando com y fixo).
    (b) Determinar a taxa de variação da temperatura no ponto (2,1) na direção y (direção do eixo y, ou seja, para y aumentando com x fixo).

Passo 2

O que significa "taxa de variação na direção x" e na "direção y"?
  • Formalmente, a taxa de variação de T na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2) no ponto (a,b) é o derivada direcional
D_{\mathbf{u}}T(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{T(a+hu_1,b+hu_2)-T(a,b)}{h}.
  • Se as derivadas parciais existem, essa derivada direcional pode ser calculada como o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}T(a,b)=\nabla T(a,b)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla T=(\tfrac{\partial T}{\partial x},\tfrac{\partial T}{\partial y}).
  • As direções pedidas são as direções dos eixos: direção x corresponde ao vetor unitário \mathbf{e}_x=(1,0) e direção y a \mathbf{e}_y=(0,1). Portanto, as taxas pedidas são simplesmente as derivadas parciais:
\text{(a) taxa na direção }x=\frac{\partial T}{\partial x}(2,1),\qquad \text{(b) taxa na direção }y=\frac{\partial T}{\partial y}(2,1).çãçã

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de T(x,y)=60(1+x^{2}+y^{2}).
  • Para \dfrac{\partial T}{\partial x}: ao derivar em relação a x trata-se y como constante. Usando que a derivada de x^{2} é 2x,
\frac{\partial T}{\partial x}(x,y)=60\cdot 2x=120x.
Aqui cada símbolo significa:
  • \dfrac{\partial T}{\partial x}(x,y) é a taxa de variação de T quando x muda e y é mantido fixo;
  • x é a coordenada onde a derivada é avaliada.
  • Para \dfrac{\partial T}{\partial y}: de modo análogo, tratando x como constante,
\frac{\partial T}{\partial y}(x,y)=60\cdot 2y=120y.
Isso mede a taxa de variação de T quando y muda e x é mantido fixo.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (2,1).
  • Substituindo em \dfrac{\partial T}{\partial x}=120x com x=2:
\frac{\partial T}{\partial x}(2,1)=120\cdot 2=240.
  • Substituindo em \dfrac{\partial T}{\partial y}=120y com y=1:
\frac{\partial T}{\partial y}(2,1)=120\cdot 1=120.
  • Unidades: como T está em {}^\circ\mathrm{C} e x,y em metros, as taxas têm unidades {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação física e exemplo numérico (ajuda para lembrar na prova):
  • \dfrac{\partial T}{\partial x}(2,1)=240\\ {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} significa que, se eu me mover uma pequena distância \Delta x em direção positiva do eixo x (mantendo y=1), a variação aproximada da temperatura será \Delta T\approx 240\cdot \Delta x (em {}^\circ\mathrm{C}). Por exemplo, movendo 0,01\\ \mathrm{m} em x aumenta a temperatura em cerca de 240\cdot 0,01=2{,}4\\ {}^\circ\mathrm{C}.
  • \dfrac{\partial T}{\partial y}(2,1)=120\\ {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} significa que mover 0,01\\ \mathrm{m} em y (com x=2 fixo) aumenta a temperatura em cerca de 1{,}2\\ {}^\circ\mathrm{C}.
  • Dica de prova: lembrar que, para funções polinomiais simples, as parciais se obtêm tratando as outras variáveis como constantes — é a maneira mais rápida durante uma prova sem calculadora.

Resposta

(a) \dfrac{\partial T}{\partial x}(2,1)=240\\ {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}\n
(b) \dfrac{\partial T}{\partial y}(2,1)=120\\ {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}

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