Considere x^{(0)}=(0,0,0) e o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-2 x_{2}=9 \\\\ -x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7 \\\\ -2 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.
(a) Use o método de Jacobi para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
(b) Use o método de Gauss-Seidel para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
(c) Verifique se o sistema satisfaz o critério de linhas. O que podemos dizer sobre a convergência do método de Jacobi?
(d) Verifique se o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld. O que podemos dizer sobre a convergência do método de Gauss-Seidel?

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e o chute inicial, e pede quatro coisas claras:
  • Sistema dado:
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-2 x_{2}=9,\\[4pt] - x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7,\\[4pt] -2 x_{2}+10 x_{3}=6, \end{array}\right.
  • Chute inicial: x^{(0)}=(0,0,0).
    As perguntas são:
    (a) Usar o método de Jacobi para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
    (b) Usar o método de Gauss–Seidel para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
    (c) Verificar se o sistema satisfaz o critério de linhas e dizer o que isso implica sobre a convergência do método de Jacobi.
    (d) Verificar o critério de Sassenfeld e dizer o que isso implica sobre a convergência do método de Gauss–Seidel.]

Passo 2

Descrição didática do método de Jacobi e definição do critério de parada.
  • Ideia do método de Jacobi: isolar cada incógnita na sua equação e calcular as novas componentes do vetor solução usando somente os valores da iteração anterior. Isso produz um operador iterativo que, aplicado repetidamente, tende à solução se o processo convergir.
  • Isolando as incógnitas neste sistema obtemos as fórmulas de iteração de Jacobi:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{9 + 2\,x_2^{(k)}}{10},\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{7 + x_1^{(k)} + 2\,x_3^{(k)}}{10},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{6 + 2\,x_2^{(k)}}{10}. \end{aligned}
  • Critério de parada prático que vamos usar (padrão em provas): controlar a norma infinito da diferença entre duas iterações consecutivas e parar quando
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty < \varepsilon,
onde \|v\|_\infty=\max_i |v_i|. Aqui \varepsilon=10^{-3}.
  • Começamos com x^{(0)}=(0,0,0) e aplicamos as fórmulas acima passo a passo.]

Passo 3

Iterações do método de Jacobi (cálculos passo a passo; sempre usei as fórmulas de Jacobi do Passo 2).
  • Iteração k=0\to1:
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\dfrac{9+2\cdot 0}{10}=0,9,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\dfrac{7+0+2\cdot 0}{10}=0,7,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\dfrac{6+2\cdot 0}{10}=0,6. \end{aligned}
Logo x^{(1)}=(0,9,\;0,7,\;0,6).
  • Iteração k=1\to2:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,7}{10}=1,04,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\dfrac{7+0,9+2\cdot 0,6}{10}=0,91,\\[4pt] x_3^{(2)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,7}{10}=0,74. \end{aligned}
Diferença \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=0,21 (ainda maior que 10^{-3}).
  • Iteração k=2\to3:
\begin{aligned} x_1^{(3)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,91}{10}=1,082,\\[4pt] x_2^{(3)}&=\dfrac{7+1,04+2\cdot 0,74}{10}=0,952,\\[4pt] x_3^{(3)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,91}{10}=0,782, \end{aligned}
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=0,042.
  • Iteração k=3\to4:
\begin{aligned} x_1^{(4)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,952}{10}=1,0904,\\[4pt] x_2^{(4)}&=\dfrac{7+1,082+2\cdot 0,782}{10}=0,9646,\\[4pt] x_3^{(4)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,952}{10}=0,7904, \end{aligned}
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty=0,0126.
  • Iteração k=4\to5:
\begin{aligned} x_1^{(5)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,9646}{10}=1,09292,\\[4pt] x_2^{(5)}&=\dfrac{7+1,0904+2\cdot 0,7904}{10}=0,96712,\\[4pt] x_3^{(5)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,9646}{10}=0,79292, \end{aligned}
\|x^{(5)}-x^{(4)}\|_\infty=0,00252.
  • Iteração k=5\to6:
\begin{aligned} x_1^{(6)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,96712}{10}=1,093424,\\[4pt] x_2^{(6)}&=\dfrac{7+1,09292+2\cdot 0,79292}{10}=0,967876,\\[4pt] x_3^{(6)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,96712}{10}=0,793424. \end{aligned}
Agora \|x^{(6)}-x^{(5)}\|_\infty=0,000756<10^{-3}. Portanto paramos: atingimos a precisão desejada pelo critério escolhido.]

Passo 4

Resultado final do Jacobi e observações rápidas de interpretação.
  • Aproximação obtida pelo método de Jacobi (critério \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}) após 6 iterações:
x^{\text{(Jacobi)}}\approx\bigl(1,093424,\;0,967876,\;0,793424\bigr).
  • Observação pedagógica: esse critério garante que entre duas iterações consecutivas as componentes já estão muito próximas; em geral, se o método converge, esse critério implica que o erro em relação à solução exata também fica pequeno (mas são conceitos ligeiramente distintos: o critério controla a variação, não diretamente o erro absoluto em relação à solução exata).

Passo 5

Descrição didática do método de Gauss–Seidel e escolha de critério de parada.
  • Ideia do Gauss–Seidel: parecido com Jacobi, mas usa imediatamente os valores mais recentes já calculados dentro da mesma iteração — isso costuma acelerar a convergência.
  • Fórmulas (ordem 1→2→3):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{9 + 2\,x_2^{(k)}}{10},\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{7 + x_1^{(k+1)} + 2\,x_3^{(k)}}{10},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{6 + 2\,x_2^{(k+1)}}{10}. \end{aligned}
  • Usarei o mesmo critério de parada: \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}.]

Passo 6

Iterações do Gauss–Seidel (cálculos passo a passo).
  • Iteração k=0\to1 (com x^{(0)}=(0,0,0)):
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\dfrac{9+2\cdot 0}{10}=0,9,\\[4pt] x_2^{(1)}&=\dfrac{7+0,9+2\cdot 0}{10}=0,79,\\[4pt] x_3^{(1)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,79}{10}=0,758. \end{aligned}
x^{(1)}=(0,9,\;0,79,\;0,758).
  • Iteração k=1\to2:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,79}{10}=1,058,\\[4pt] x_2^{(2)}&=\dfrac{7+1,058+2\cdot 0,758}{10}=0,9574,\\[4pt] x_3^{(2)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,9574}{10}=0,79148. \end{aligned}
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty\approx0,1674.
  • Iteração k=2\to3:
\begin{aligned} x_1^{(3)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,9574}{10}=1,09148,\\[4pt] x_2^{(3)}&=\dfrac{7+1,058+2\cdot 0,79148}{10}=0,964096,\\[4pt] x_3^{(3)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,964096}{10}=0,7928192. \end{aligned}
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty\approx0,03348.
  • Iteração k=3\to4:
\begin{aligned} x_1^{(4)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,964096}{10}=1,0928192,\\[4pt] x_2^{(4)}&=\dfrac{7+1,09148+2\cdot 0,7928192}{10}=0,96771184,\\[4pt] x_3^{(4)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,96771184}{10}=0,793542368. \end{aligned}
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty\approx0,00361584.
  • Iteração k=4\to5:
\begin{aligned} x_1^{(5)}&=\dfrac{9+2\cdot 0,96771184}{10}=1,093542368,\\[4pt] x_2^{(5)}&=\dfrac{7+1,0928192+2\cdot 0,793542368}{10}=0,9679903936,\\[4pt] x_3^{(5)}&=\dfrac{6+2\cdot 0,9679903936}{10}=0,79359807872. \end{aligned}
Agora \|x^{(5)}-x^{(4)}\|_\infty\approx0,000723168<10^{-3}. Paramos: critério atendido.]

Passo 7

Resultado final do Gauss–Seidel.
  • Aproximação obtida pelo método de Gauss–Seidel (parando quando \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty<10^{-3}) após 5 iterações:
x^{\text{(G–S)}}\approx\bigl(1,093542368,\;0,9679903936,\;0,7935980787\bigr).
  • Observação: comparando com Jacobi, Gauss–Seidel atingiu o critério em menos iterações (normalmente GS converge mais rápido quando converge).

Passo 8

Verificação do critério de linhas (diagonal dominante por linhas) e implicação para Jacobi (parte (c)).
  • Critério de linhas (dominância estrita por linhas): para cada linha i verificar se |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
    • Linha 1: |10|>|-2| \Rightarrow 10>2 — OK.
    • Linha 2: |10|>|-1|+|-2| \Rightarrow 10>1+2=3 — OK.
    • Linha 3: |10|>|-2| \Rightarrow 10>2 — OK.
  • Conclusão: a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Em consequência, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel são garantidos para convergir a partir de qualquer chute inicial. Assim, para (c): o critério de linhas é satisfeito e o método de Jacobi converge.

Passo 9

Verificação do critério de Sassenfeld e implicação para Gauss–Seidel (parte (d)).
  • Regra de Sassenfeld: calcular números \beta_1,\beta_2,\beta_3 na ordem das equações:
\begin{aligned} \beta_1 &=\dfrac{1}{|a_{11}|}\sum_{j\ne1}|a_{1j}|=\dfrac{|-2|}{10}=0,2,\\[4pt] \beta_2 &=\dfrac{1}{|a_{22}|}\Big(|a_{21}|\beta_1+\sum_{j>2}|a_{2j}|\Big) = \dfrac{1\cdot 0,2 + 2}{10}=\dfrac{2,2}{10}=0,22,\\[4pt] \beta_3 &=\dfrac{1}{|a_{33}|}\Big(|a_{31}|\beta_1+|a_{32}|\beta_2+\sum_{j>3}\cdots\Big) = \dfrac{2\cdot 0,22}{10}=0,044. \end{aligned}
  • O máximo \beta_{\max}=0,22<1. Conclusão: o critério de Sassenfeld é satisfeito, logo o método de Gauss–Seidel converge (na verdade, a condição \beta_{\max}<1 garante convergência do GS).]

Resposta

(a) x^{\text{(Jacobi)}}\approx\bigl(1,093424,\;0,967876,\;0,793424\bigr)\n
(b) x^{\text{(Gauss–Seidel)}}\approx\bigl(1,093542368,\;0,9679903936,\;0,7935980787\bigr)\n
(c) Sim. A matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), portanto o método de Jacobi converge.\n
(d) Sim. O critério de Sassenfeld dá \beta_{\max}=0,22<1, portanto o método de Gauss–Seidel converge.

Exercícios relacionados