(a) Use o método de Jacobi para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
(b) Use o método de Gauss-Seidel para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
(c) Verifique se o sistema satisfaz o critério de linhas. O que podemos dizer sobre a convergência do método de Jacobi?
(d) Verifique se o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld. O que podemos dizer sobre a convergência do método de Gauss-Seidel?
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear e o chute inicial, e pede quatro coisas claras:
Chute inicial: x^{(0)}=(0,0,0).
As perguntas são:
(a) Usar o método de Jacobi para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
(b) Usar o método de Gauss–Seidel para obter uma aproximação com precisão \varepsilon=10^{-3} para a solução do sistema.
(c) Verificar se o sistema satisfaz o critério de linhas e dizer o que isso implica sobre a convergência do método de Jacobi.
(d) Verificar o critério de Sassenfeld e dizer o que isso implica sobre a convergência do método de Gauss–Seidel.]
Passo 2
Descrição didática do método de Jacobi e definição do critério de parada.
Ideia do método de Jacobi: isolar cada incógnita na sua equação e calcular as novas componentes do vetor solução usando somente os valores da iteração anterior. Isso produz um operador iterativo que, aplicado repetidamente, tende à solução se o processo convergir.
Isolando as incógnitas neste sistema obtemos as fórmulas de iteração de Jacobi:
Observação pedagógica: esse critério garante que entre duas iterações consecutivas as componentes já estão muito próximas; em geral, se o método converge, esse critério implica que o erro em relação à solução exata também fica pequeno (mas são conceitos ligeiramente distintos: o critério controla a variação, não diretamente o erro absoluto em relação à solução exata).
Passo 5
Descrição didática do método de Gauss–Seidel e escolha de critério de parada.
Ideia do Gauss–Seidel: parecido com Jacobi, mas usa imediatamente os valores mais recentes já calculados dentro da mesma iteração — isso costuma acelerar a convergência.
Observação: comparando com Jacobi, Gauss–Seidel atingiu o critério em menos iterações (normalmente GS converge mais rápido quando converge).
Passo 8
Verificação do critério de linhas (diagonal dominante por linhas) e implicação para Jacobi (parte (c)).
Critério de linhas (dominância estrita por linhas): para cada linha i verificar se |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Linha 1: |10|>|-2| \Rightarrow 10>2 — OK.
Linha 2: |10|>|-1|+|-2| \Rightarrow 10>1+2=3 — OK.
Linha 3: |10|>|-2| \Rightarrow 10>2 — OK.
Conclusão: a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Em consequência, tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel são garantidos para convergir a partir de qualquer chute inicial. Assim, para (c): o critério de linhas é satisfeito e o método de Jacobi converge.
Passo 9
Verificação do critério de Sassenfeld e implicação para Gauss–Seidel (parte (d)).
Regra de Sassenfeld: calcular números \beta_1,\beta_2,\beta_3 na ordem das equações:
O máximo \beta_{\max}=0,22<1. Conclusão: o critério de Sassenfeld é satisfeito, logo o método de Gauss–Seidel converge (na verdade, a condição \beta_{\max}<1 garante convergência do GS).]
Resposta
(a) x^{\text{(Jacobi)}}\approx\bigl(1,093424,\;0,967876,\;0,793424\bigr)\n
(b) x^{\text{(Gauss–Seidel)}}\approx\bigl(1,093542368,\;0,9679903936,\;0,7935980787\bigr)\n
(c) Sim. A matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas (cada |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|), portanto o método de Jacobi converge.\n
(d) Sim. O critério de Sassenfeld dá \beta_{\max}=0,22<1, portanto o método de Gauss–Seidel converge.