Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. A informação relevante dada é a expressão do termo geral da série, que denotarei por
:
Queremos decidir se
converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).
Passo 2
Vamos escrever o termo geral em potências de
para facilitar a comparação com séries conhecidas. Usando
e
, temos
Agora simplificamos a potência de
no numerador e denominador:
Portanto
Passo 3
Para decidir convergência é útil comparar com uma série do tipo
(a chamada p-série). Observe que, para
grande,
é aproximadamente
. Assim, heurísticamente,
Isso sugere comparar
com a sequência
A série
é uma p-série com
.
Passo 4
Lembrete do teste de p‑séries (fórmula e ideia): a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, logo
converge. Este é um teste padrão: quando a potência
é maior que
, os termos vão a zero rápido o suficiente para que a soma seja finita; quando
não é suficiente.
Passo 5
Método escolhido: teste da comparação na forma do limite (limit comparison test), porque já temos uma boa candidata
e os termos são todos positivos. O teste do limite diz: se
,
para todo
grande e
com
, então
e
convergem ou divergem juntas.
Passo 6
Aplicando o teste do limite com
e
. Primeiro verificamos que ambos são positivos para
, então o teste é aplicável. Agora calculamos o limite
Passo 7
Calcular o quociente passo a passo:
Agora tomamos o limite quando
:
Portanto o limite
existe e vale
, que está entre
e
.
Passo 8
Conclusão pelo teste do limite: como
e sabemos que
converge (p-série com
), segue que
também converge. Como os termos são positivos, não há distinção entre convergência condicional e absoluta — é simplesmente convergência.
Resposta
A série converge.