Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[3]{2}}{3 \sqrt{2}}+\cdots+\frac{\sqrt[3]{n}}{(n+1) \sqrt{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt[3]{2}}{3\sqrt{2}}+\cdots+\frac{\sqrt[3]{n}}{(n+1)\sqrt{n}}+\cdots
converge ou diverge. A informação relevante dada é a expressão do termo geral da série, que denotarei por \displaystyle a_n:
a_n=\frac{\sqrt[3]{n}}{(n+1)\sqrt{n}}.
Queremos decidir se \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em potências de n para facilitar a comparação com séries conhecidas. Usando \sqrt[3]{n}=n^{1/3} e \sqrt{n}=n^{1/2}, temos
a_n=\frac{n^{1/3}}{(n+1)\,n^{1/2}}.
Agora simplificamos a potência de n no numerador e denominador:
a_n=\frac{n^{1/3-1/2}}{n+1}=\frac{n^{-1/6}}{n+1}.
Portanto
a_n=\frac{n^{-1/6}}{n+1}.

Passo 3

Para decidir convergência é útil comparar com uma série do tipo \displaystyle\sum \frac{1}{n^p} (a chamada p-série). Observe que, para n grande, n+1 é aproximadamente n. Assim, heurísticamente,
a_n\sim \frac{n^{-1/6}}{n} = n^{-1-1/6}=n^{-7/6}.
Isso sugere comparar a_n com a sequência
b_n=\frac{1}{n^{7/6}}.
A série \displaystyle\sum b_n=\sum \frac{1}{n^{7/6}} é uma p-série com p=\tfrac{7}{6}.

Passo 4

Lembrete do teste de p‑séries (fórmula e ideia): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{7}{6}>1, logo \displaystyle\sum b_n converge. Este é um teste padrão: quando a potência p é maior que 1, os termos vão a zero rápido o suficiente para que a soma seja finita; quando p\le 1 não é suficiente.

Passo 5

Método escolhido: teste da comparação na forma do limite (limit comparison test), porque já temos uma boa candidata b_n=\dfrac{1}{n^{7/6}} e os termos são todos positivos. O teste do limite diz: se a_n>0, b_n>0 para todo n grande e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L,
com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.

Passo 6

Aplicando o teste do limite com a_n=\dfrac{n^{-1/6}}{n+1} e b_n=\dfrac{1}{n^{7/6}}. Primeiro verificamos que ambos são positivos para n\ge1, então o teste é aplicável. Agora calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.

Passo 7

Calcular o quociente passo a passo:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{n^{-1/6}}{n+1}}{\,n^{-7/6}\,} =\frac{n^{-1/6}\cdot n^{7/6}}{n+1} =\frac{n^{(-1/6+7/6)}}{n+1} =\frac{n^{6/6}}{n+1} =\frac{n}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Portanto o limite L existe e vale 1, que está entre 0 e \infty.

Passo 8

Conclusão pelo teste do limite: como \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=1 e sabemos que \displaystyle\sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{7/6}} converge (p-série com p=\tfrac{7}{6}>1), segue que \displaystyle\sum a_n também converge. Como os termos são positivos, não há distinção entre convergência condicional e absoluta — é simplesmente convergência.

Resposta

A série converge.

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