Exercício 12. Determine todos os valores reais de
que satisfazem as desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Tratamos de um polinômio de grau 5. Para resolver, vamos usar teoria de raízes racionais (teorema do resto) para fatorar o polinômio e depois montar um estudo de sinais.
Passo 2
Procuramos raízes racionais entre divisores de
sobre divisores de
, ou seja
. Testando
:
Logo
é fator. Dividindo
por
(síntese com
) obtemos
Passo 3
Agora fatoramos o quarto grau
. Testando
:
logo
é fator. Dividindo por
(síntese com
) obtemos o cúbico
Fazendo agrupamento:
Portanto a fatoração completa é
Passo 4
A desigualdade vira
Note que
para todo
, então o sinal do produto depende só de
. Os zeros reais desse produto são
que partem a reta em quatro intervalos.
Passo 5
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo:
- Em
, por exemplo : . - Em
, por exemplo : . - Em
, por exemplo : . - Em
, por exemplo : .
A desigualdade
vale exatamente onde
, ou seja em