Exercício 12. Determine todos os valores reais de x que satisfazem as desigualdades.
3 x^5-2 x^4-4 x^3-4 x^2-7 x-2<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
3x^5-2x^4-4x^3-4x^2-7x-2<0
Tratamos de um polinômio de grau 5. Para resolver, vamos usar teoria de raízes racionais (teorema do resto) para fatorar o polinômio e depois montar um estudo de sinais.

Passo 2

Procuramos raízes racionais entre divisores de -2 sobre divisores de 3, ou seja pm1,pm2,pmtfrac13,pmtfrac23. Testando x=-1:
3(-1)^5-2(-1)^4-4(-1)^3-4(-1)^2-7(-1)-2 =-3-2+4-4+7-2=0
Logo x+1 é fator. Dividindo 3x^5-2x^4-4x^3-4x^2-7x-2 por x+1 (síntese com -1) obtemos
3x^4-5x^3+x^2-5x-2

Passo 3

Agora fatoramos o quarto grau 3x^4-5x^3+x^2-5x-2. Testando x=2:
3cdot2^4-5cdot2^3+2^2-5cdot2-2 =48-40+4-10-2=0,
logo x-2 é fator. Dividindo por x-2 (síntese com 2) obtemos o cúbico
3x^3+x^2+3x+1
Fazendo agrupamento:
3x^3+x^2+3x+1=(3x^3+x^2)+(3x+1)=x^2(3x+1)+1(3x+1)=(3x+1)(x^2+1)
Portanto a fatoração completa é
3x^5-2x^4-4x^3-4x^2-7x-2=(x+1)(x-2)(3x+1)(x^2+1)

Passo 4

A desigualdade vira
(x+1)(x-2)(3x+1)(x^2+1)<0
Note que ;x^2+1>0 para todo x, então o sinal do produto depende só de (x+1)(x-2)(3x+1). Os zeros reais desse produto são
x=-1, x=2, x=-tfrac13,
que partem a reta em quatro intervalos.

Passo 5

Escolhemos um ponto teste em cada intervalo:
  • Em (-infty,-1), por exemplo x=-2: (x+1)(x-2)(3x+1)=(-1)(-4)(-5)=-20<0.
  • Em (-1,-tfrac13), por exemplo x=-tfrac12: (+tfrac12)(-2,5)(-0,5)=+0,625>0.
  • Em (-tfrac13,2), por exemplo x=0: (+1)(-2)(+1)=-2<0.
  • Em (2,infty), por exemplo x=3: (+4)(+1)(+10)=+40>0.
A desigualdade (x+1)(x-2)(3x+1)(x^2+1)<0 vale exatamente onde (x+1)(x-2)(3x+1)<0, ou seja em
(-infty,-1);cup;l(-tfrac13,2r)

Resposta

(-infty,-1);cup;l(-tfrac13,2r)

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