Exercício 12. Determine todos os valores reais de x que satisfazem as desigualdades.
(x^2+4)(-x^2-x-1)<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
l(x^2+4r)l(-x^2-x-1r)<0
Trata-se de uma inequação de produto de dois fatores polinomiais; vamos estudar o sinal de cada um para ver em que intervalos o produto é negativo.

Passo 2

Analise do primeiro fator ,x^2+4. Como x^2>=0 para todo xinR, temos
x^2+4>= 0+4=4>0
Logo ,x^2+4 é sempre positivo, sem zeros reais.

Passo 3

Analise do segundo fator ,-x^2-x-1. Podemos reescrever
-x^2-x-1 = -l(x^2+x+1r)
O discriminante de x^2+x+1 é
De<a = 1^2-4cdot1cdot1 = -3<0,
e como o coeficiente de x^2 é positivo, conclui-se que x^2+x+1>0 para todo x. Portanto
-x^2-x-1 < 0forall xinR

Passo 4

Juntando os sinais: o primeiro fator é sempre positivo e o segundo é sempre negativo, então o produto
l(x^2+4r)l(-x^2-x-1r)
é negativo para todo x. Logo a inequação é satisfeita por qualquer real.

Resposta

A solução é
(-infty,infty)

Exercícios relacionados