Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
125^{\frac{1}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \;125^{\frac{1}{3}}\;. A única informação dada é o número base 125 e o expoente \frac{1}{3}.

Passo 2

Entender o que significa um expoente fracionário. Para qualquer número positivo a e inteiro n\ge 1 vale a definição
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},
ou seja, a^{1/n} é a raiz enésima de a. No caso n=3, \;a^{1/3}\; é a raiz cúbica de a: é o número y tal que y^3=a.

Passo 3

Lembrar uma propriedade básica de potências que vamos usar: para quaisquer números a e expoentes r,s vale
\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r s}.
Em particular, se a=b^n então
\left(b^n\right)^{1/n}=b^{n\cdot(1/n)}=b^1=b.

Passo 4

Fazer a fatoração do número 125. Divide-se por 5 (o menor primo que cabe):
125=5\times25=5\times5\times5=5^3.
Portanto 125 é uma potência perfeita: 125=5^3. Peguei esse valor da fatoração direta de 125.

Passo 5

Aplicar a definição e a propriedade das potências:
125^{\frac{1}{3}}=(5^3)^{\frac{1}{3}}=5^{3\cdot\frac{1}{3}}=5^1=5.
Verificação rápida (para ter certeza na prova): (5)^3=125, então a raiz cúbica de 125 é mesmo 5.

Passo 6

Alguns exemplos rápidos para treinar e saber usar a ideia na prova:
8^{\frac{1}{3}}=2,\qquad 16^{\frac{1}{4}}=2,\qquad 27^{\frac{2}{3}}=\bigl(27^{\frac{1}{3}}\bigr)^2=3^2=9.

Resposta

5

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