Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
(-4)^{\frac{2}{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (-4)^{\frac{2}{3}}.
Informações dadas: a base é -4 e o expoente é \frac{2}{3}. O objetivo é achar o valor real correspondente.

Passo 2

Recordando a definição útil de potência com expoente racional: para inteiros m e n>0,
a^{\frac{m}{n}} = \bigl(a^{\frac{1}{n}}\bigr)^m = \bigl(a^m\bigr)^{\frac{1}{n}}.
Aviso importante sobre sinais: se n é ímpar, a raiz a^{1/n}=\sqrt[n]{a} está bem definida para a<0 (por exemplo \sqrt[3]{-8}=-2). Se n é par, não se pode tirar raiz par de número negativo no conjunto dos reais. Aqui n=3 (ímpar), então podemos trabalhar com a raiz cúbica de -4 sem problema.

Passo 3

Vamos usar \displaystyle (-4)^{\frac{2}{3}}=\bigl((-4)^{\frac{1}{3}}\bigr)^2.
Calcule a raiz cúbica:
(-4)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-4}=-\sqrt[3]{4}.
Agora eleve ao quadrado:
\bigl(-\sqrt[3]{4}\bigr)^2=(\sqrt[3]{4})^2=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}.
Portanto, (-4)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{16}.

Passo 4

Verificação alternativa (mesma propriedade por outro caminho):
(-4)^{\frac{2}{3}}=\bigl((-4)^2\bigr)^{\frac{1}{3}}=16^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{16},
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 5

Podemos simplificar \sqrt[3]{16} fatorando 16=8\cdot2:
\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot2}=\sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}.
Uma aproximação numérica rápida: \sqrt[3]{2}\approx1{,}26, então 2\sqrt[3]{2}\approx2{,}52.

Resposta

2\sqrt[3]{2}

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