Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
9^{-\frac{3}{1}}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a operação 9^{-\frac{3}{1}}. Informações dadas:
  • A base é 9.
  • O expoente é -\dfrac{3}{1}.
    A pergunta é: qual é o valor numérico de 9^{-\frac{3}{1}}?

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades de potências que serão usadas:
  • Regra do expoente negativo: para qualquer número real a\neq0 e inteiro n>0,
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Isto significa que um expoente negativo indica “inverso” ou “recíproco” da potência positiva correspondente.
  • Regra da potência de potência: para quaisquer a e expoentes b,c,
(a^{b})^{c}=a^{bc}.
Isso é útil quando a base pode ser escrita como potência de um número menor.

Passo 3

Primeiro simplifico o expoente -\dfrac{3}{1}. Como dividir por 1 não altera o número,
-\frac{3}{1}=-3.
Portanto 9^{-\frac{3}{1}}=9^{-3}.

Passo 4

Aplicando a regra do expoente negativo:
9^{-3}=\frac{1}{9^{3}}.
Agora precisamos calcular 9^{3}.

Passo 5

Para facilitar, escrevo 9 como 3^{2} e uso a regra da potência de potência:
9^{3}=(3^{2})^{3}=3^{2\cdot 3}=3^{6}.

Passo 6

Calculo 3^{6}. Posso fazer em etapas:
3^{2}=9,\qquad 3^{3}=27,\qquad 3^{6}=(3^{3})^{2}=27^{2}=729.
Logo 9^{3}=729.

Passo 7

Substituindo em \dfrac{1}{9^{3}}:
9^{-3}=\frac{1}{729}.
Esse é o valor final.

Resposta

\dfrac{1}{729}

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