Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a soma da sequência alternada que começa com \dfrac{1}{2} e termina com -\dfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.
Informações dadas:
  • O primeiro termo é \dfrac{1}{2}.
  • Os sinais alternam +, -, +, -, \dots.
  • O último termo mostrado é -\dfrac{1}{2}, portanto a sequência tem um número par de termos (por exemplo 2,4,6,\dots termos).
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Observação simples e útil para somas alternadas: quando juntar termos consecutivos formam pares do tipo
\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.
Calcule esse par isoladamente para ver o que acontece:
\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Isso mostra que cada par consecutivo de um +\dfrac{1}{2} seguido de um -\dfrac{1}{2} se cancela e soma zero.

Passo 3

Como o enunciado termina com -\dfrac{1}{2}, há um número par de termos. Podemos então agrupar todos os termos em pares consecutivos assim:
\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right).
Cada par vale 0, conforme calculado no passo anterior.

Passo 4

Se houver 2n termos no total (com n pares), a soma fica
\underbrace{0+0+\cdots+0}_{n\\ \text{vezes}}=0.
Portanto, independentemente de quantos pares haja, desde que o total de termos seja par e o padrão seja o dado, a soma é 0.

Resposta

0

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