Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{-7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico da expressão \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-7}.
Informação dada: a base é \displaystyle -\dfrac{1}{2} e o expoente é -7. O objetivo é simplificar essa potência e obter um número inteiro ou racional.

Passo 2

Regra importante: para qualquer número não nulo a e inteiro positivo n vale
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Explicando: o expoente negativo indica o inverso multiplicativo (recíproco) da potência com expoente positivo. Exemplo curto para fixar: \displaystyle 2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{-7}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^{7}}.

Passo 4

Outra regra útil: a potência de uma fração é a fração das potências,
\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}},
onde a e b são números e n é inteiro não negativo. Também, para potências de -1 vale (-1)^{n}= -1 se n é ímpar e =1 se n é par. Aqui a=-1, b=2 e n=7 (ímpar), então:
\left(-\frac{1}{2}\right)^{7}=\frac{(-1)^{7}}{2^{7}}=\frac{-1}{2^{7}}.

Passo 5

Calcular 2^{7}. Podemos multiplicar passo a passo sem calculadora:
2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{6}=64,\quad 2^{7}=128.
Portanto
\left(-\frac{1}{2}\right)^{7}=-\frac{1}{128}.

Passo 6

Voltando ao recíproco (Passo 3):
\left(-\frac{1}{2}\right)^{-7}=\frac{1}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{7}}=\frac{1}{-\dfrac{1}{128}}.
O recíproco de -\dfrac{1}{128} é -128, porque \dfrac{1}{-\tfrac{1}{128}}=-128. Logo
\left(-\frac{1}{2}\right)^{-7}=-128.

Resposta

-128

Exercícios relacionados