Exercício 12. (ELJ 64) Seja
diferenciável e
um ponto de acumulação de
, em que
. Mostre que
não é injetora.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função diferenciável
e um ponto
que é ponto de acumulação de
com
. Queremos mostrar que a diferencial
não pode ser injetora. Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade e argumentos com sequências e direções em que a diferença de valores de é nula.
não pode ser injetora. Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade e argumentos com sequências e direções em que a diferença de valores de
Passo 2
Como
é ponto de acumulação de
, existe uma sequência
com cada
, convergindo para
, e tal que
Definimos
de modo que
e
quando
.
Passo 3
Considere os vetores unitários
Como a esfera unitária em
é compacta, existe uma subsequência
que converge para algum vetor
com
. Assim
Passo 4
Pela diferenciabilidade de
em
temos a aproximação
onde
quando
. Aplicando isso a
e lembrando que
, obtemos
Ou seja,
Dividindo por
e usando
, segue
Como
e
é linear e contínua, concluímos
Passo 5
Encontramos um vetor não nulo
(pois
) tal que
Isso mostra que o núcleo de
é não trivial, logo
não é injetora.
Resposta
A diferencial
não é injetora, pois existe
com
.