Exercício 12. (ELJ 64) Seja f: R^m R^n diferenciável e a um ponto de acumulação de f^-1(b), em que b in R^n. Mostre que d f(a): R^m R^n não é injetora.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função diferenciável
fcolon R^m to R^n
e um ponto a que é ponto de acumulação de
f^-1(b)=xinR^mmid f(x)=b,
com binR^n. Queremos mostrar que a diferencial
,df(a)colon R^mtoR^n
não pode ser injetora. Para isso vamos usar a definição de diferenciabilidade e argumentos com sequências e direções em que a diferença de valores de f é nula.

Passo 2

Como a é ponto de acumulação de f^-1(b), existe uma sequência (ak)subset R^m com cada akneq a, convergindo para a, e tal que
f(ak)=b para todo (k)
Definimos
hk = ak - a,
de modo que hkneq 0 e hkto 0 quando ktoinfty.

Passo 3

Considere os vetores unitários
vk = hk|hk|
Como a esfera unitária em R^m é compacta, existe uma subsequência (vkj) que converge para algum vetor v com |v|=1. Assim
vkjlongrightarrow v, |v|=1

Passo 4

Pela diferenciabilidade de f em a temos a aproximação
f(a+h) = f(a) + df(a)(h) + r(h),
onde r(h)/|h|to 0 quando hto 0. Aplicando isso a hkj e lembrando que f(a+hkj)=f(a)=b, obtemos
0 = f(a+hkj) - f(a) = df(a)(hkj) + r(hkj)
Ou seja,
df(a)(hkj) = -,r(hkj)
Dividindo por |hkj| e usando lim r(hkj)/|hkj|=0, segue
df(a)l(vkjr) = df(a)(hkj)|hkj| = -,r(hkj)|hkj| longrightarrow 0
Como vkjto v e df(a) é linear e contínua, concluímos
df(a)(v) = 0

Passo 5

Encontramos um vetor não nulo v (pois |v|=1) tal que
df(a)(v)=0
Isso mostra que o núcleo de df(a) é não trivial, logo df(a) não é injetora.

Resposta

A diferencial df(a) não é injetora, pois existe vneq 0 com df(a)(v)=0.

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