Prove a partir da definição de limite que:
\lim _{x \rightarrow 4}(2 x-5)=3

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, usando a definição de limite (delta–epsilon), que \displaystyle \lim_{x\to4}(2x-5)=3.
O conteúdo envolvido é o conceito de limite de função em um ponto real.

Passo 2

Segundo a definição, precisamos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-4|<\delta, então
|(2x-5)-3|<\varepsilon.

Passo 3

Calculemos a distância ao valor-limite:
|(2x-5)-3| = |2x - 8| = 2\,|x-4|.

Passo 4

Queremos garantir que 2\,|x-4|<\varepsilon. Basta então escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{2},
pois se 0<|x-4|<\delta então
2\,|x-4| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Passo 5

Portanto, para esse \delta temos sempre
|(2x-5)-3| < \varepsilon
sempre que 0<|x-4|<\delta. Isso completa a prova da definição de limite.

Resposta

Concluímos que, a partir da definição de limite, \displaystyle \lim_{x\to4}(2x-5)=3.

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