Exercício 12. Existe a derivada da função
f(x)=|x|
no ponto x_{0}=0 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
f(x)=|x|
é diferenciável em x_{0}=0. O conteúdo envolve a definição de derivada como limite do quociente incremental e a verificação das derivadas laterais em pontos onde a expressão pode mudar de ramo.

Passo 2

Lembrando que a derivada de f em x_{0} existe se, e somente se, o limite
f'(x_{0}) = \lim_{h\to0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
existe (é finito e único). Isso equivale a exigir que os limites laterais
\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existam e sejam iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela direita em 0: como f(0)=|0|=0, temos
\lim_{h\to0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h}{h} =1.

Passo 4

Agora a derivada pela esquerda em 0:
\lim_{h\to0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h}{h} =-1.

Passo 5

Como as derivadas laterais são diferentes 1\neq -1, o limite central não existe e, portanto, f não é diferenciável em 0.

Resposta

Não existe a derivada de f(x)=|x| em x_{0}=0.

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