Exercício 12. Existe a derivada da função
no ponto
?
Passo 1
O enunciado pergunta se a função
é diferenciável em
. O conteúdo envolve a definição de derivada como limite do quociente incremental e a verificação das derivadas laterais em pontos onde a expressão pode mudar de ramo.
Passo 2
Lembrando que a derivada de
em
existe se, e somente se, o limite
existe (é finito e único). Isso equivale a exigir que os limites laterais
existam e sejam iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada pela direita em
: como
, temos
Passo 4
Agora a derivada pela esquerda em
:
Passo 5
Como as derivadas laterais são diferentes
, o limite central não existe e, portanto,
não é diferenciável em
.
Resposta
Não existe a derivada de
em
.