Questão 2 (2 pontos). Considere a função f dada por
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}
Determine o domínio e encontre todas as assíntotas verticais e horizontais.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}
e pede (a) o domínio de f e (b) todas as assíntotas verticais e horizontais. Vamos usar definição de domínio (denominador não nulo) e análise de limites (laterais em pontos finitos para assíntota vertical, no infinito para horizontal).

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador não seja zero: x \neq 0. Como \sqrt{x^{2}+1} está sempre definida, o domínio é
(-\infty,0)\,\cup\,(0,\infty).

Passo 3

A única possível assíntota vertical é em x=0. Calculamos os limites laterais:
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \approx\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty,
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \approx\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.
Como os limites divergem em sinal oposto, x=0 é assíntota vertical.

Passo 4

Para assíntotas horizontais, estudamos x\to\pm\infty. Note que
\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} =\frac{|x|\sqrt{1+1/x^2}}{x} =\frac{|x|}{x}\,\sqrt{1+\frac1{x^2}}.
Assim,
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}1\cdot\sqrt{1+\tfrac1{x^2}}=1,
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}(-1)\cdot\sqrt{1+\tfrac1{x^2}}=-1.
Logo há duas assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.

Resposta

Domínio: (- \infty,0)\cup(0,\infty)
Assíntota vertical: x=0
Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1

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