Exercício 12: Identifique o domínio da função e classifique as funções em sobrejetora, injetora e bijetora.
( ) f(x)=a x+b;
(e) f(x)=x^{2}+a;
( ) f(x)=x^{2}+a x;
  • f(x)=x^{2}+a x+b;
    ( ) f(x)=|2 x-3|;
    (e) f(x)=|2 x-3|-|-x+1|;
    Referência bibliográfica: Elementar, Editora Atual, São Paulo, SP, 2012.

Passo 1

O enunciado pede, para cada função abaixo, que eu identifique (1) o domínio e (2) se a função é injetora, sobrejetora e/ou bijetora (assumindo o contradomínio igual a \mathbb{R}, a menos que fique claro outro contradomínio). As funções dadas são:
\begin{aligned} &\text{(a) } f(x)=a x+b,\\\ &\text{(b) } f(x)=x^{2}+a,\\\ &\text{\text{(c)} } f(x)=x^{2}+a x,\\\ &\text{(d) } f(x)=x^{2}+a x+b,\\\ &\text{(e) } f(x)=|2x-3|,\\\ &\text{(f) } f(x)=|2x-3|-|-x+1|. \end{aligned}
Informações relevantes já no enunciado: as fórmulas das funções (os parâmetros a,b são constantes reais não especificadas). Não há figuras nem outras restrições de domínio mencionadas.

Passo 2

Vou lembrar de forma simples e prática o que significa cada termo e como testar:
  • Domínio: conjunto de todos os x para os quais a expressão da função está bem definida. Para polinômios e expressões com valor absoluto, o domínio costuma ser \mathbb{R}.
  • Injetora (um-para-um): \;f é injetora se, sempre que \;f(x_1)=f(x_2)\; então \;x_1=x_2. Teste prático: igualar f(x_1)=f(x_2) e ver se isso força x_1=x_2 para quaisquer x_1,x_2.
  • Sobrejetora (sobre): \;f é sobrejetora se para todo y no contradomínio (aqui assumimos \mathbb{R}) existe x no domínio com \;f(x)=y. Teste prático: determinar a imagem/intervalo (range) de f; se for todo \mathbb{R}, então é sobrejetora.
  • Bijetora: ambas injetora e sobrejetora.
Vou aplicar essas definições a cada função e mostrar os cálculos passo a passo, com exemplos para verificar injetividade/sobrejetividade.

Passo 3

  1. Domínio: polinômio de grau 1, então o domínio é \mathbb{R}.
  2. Injetividade: suponha \;a x_1+b=a x_2+b. Subtraindo b: \;a(x_1-x_2)=0.
    • Se \;a\neq0, então x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2. Logo é injetora quando \;a\neq0.
    • Se \;a=0, então f(x)=b (constante) e não é injetora (muitos x têm mesma imagem).
  3. Sobrejetividade (assumindo contradomínio \mathbb{R}):
    • Se \;a\neq0, dada qualquer y\in\mathbb{R} existe x=(y-b)/a em \mathbb{R} tal que f(x)=y. Logo é sobrejetora quando \;a\neq0.
    • Se \;a=0, imagem é o conjunto \{b\}, não é toda \mathbb{R}, logo não é sobrejetora.
  4. Conclusão: quando \;a\neq0 a função é injetora e sobrejetora (portanto bijetora). Quando \;a=0 é constante: domínio \mathbb{R}, não injetora, não sobrejetora (se contradomínio \mathbb{R}).

Passo 4

  1. Domínio: polinômio, logo \mathbb{R}.
  2. Determinar a imagem (range): x^{2}\ge0 para todo x, então x^{2}+a\ge a. Assim a imagem é [a,\infty).
    • Mostro com completar quadrado? Aqui é trivial porque não há termo linear: mínimo em x=0 é a.
  3. Injetividade: não é injetora em \mathbb{R} porque f(x)=f(-x) (por exemplo f(1)=f(-1)). Logo não injetora.
  4. Sobrejetividade (contradomínio \mathbb{R}): como imagem é [a,\infty), não alcança valores menores que a. Logo não é sobrejetora para contradomínio \mathbb{R}.
  5. Conclusão: domínio \mathbb{R}; nem injetora nem sobrejetora (exceto se o contradomínio for mudado para [a,\infty), aí seria sobrejetora).

Passo 5

  1. Domínio: polinômio, então \mathbb{R}.
  2. Completar o quadrado para achar o mínimo:
x^{2}+a x = \left(x+\frac{a}{2}\right)^{2} - \frac{a^{2}}{4}.
Portanto o mínimo (como coeficiente de x^{2} é positivo) é -\dfrac{a^{2}}{4} alcançado em x=-\dfrac{a}{2}. Imagem \left[-\dfrac{a^{2}}{4},\infty\right).
3) Injetividade: não é injetora porque existem pares distintos com mesma imagem. Exemplo simples: tome x_1=0 e x_2=-a. Então
f(0)=0,\qquad f(-a)=(-a)^2 + a(-a)=a^{2}-a^{2}=0,
logo f(0)=f(-a) mas 0\neq -a (salvo caso especial a=0, onde a mesma observação mostra simetria x\leftrightarrow -x). Em geral não injetora.
4) Sobrejetividade (contradomínio \mathbb{R}): a imagem é \left[-\dfrac{a^{2}}{4},\infty\right), não toda \mathbb{R}. Logo não sobrejetora.
5) Conclusão: domínio \mathbb{R}; nem injetora nem sobrejetora.

Passo 6

  1. Domínio: polinômio, logo \mathbb{R}.
  2. Completar o quadrado:
x^{2}+a x+b=\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(b-\frac{a^{2}}{4}\right).
Como o coeficiente de x^{2} é 1>0, a função tem mínimo igual a b-\dfrac{a^{2}}{4} em x=-\dfrac{a}{2}. Assim a imagem é \left[b-\dfrac{a^{2}}{4},\infty\right).
3) Injetividade: não é injetora em \mathbb{R} porque, fora o ponto do vértice, cada valor acima do mínimo tem duas abscissas distintas que o produzem (propriedade típica de parábolas com concavidade para cima). Por exemplo, escolher x e x' simétricos em torno do vértice dá f(x)=f(x').
4) Sobrejetividade: como imagem é \left[b-\dfrac{a^{2}}{4},\infty\right), não é toda \mathbb{R}. Logo não sobrejetora.
5) Conclusão: domínio \mathbb{R}; nem injetora nem sobrejetora (salvo se redefinirmos o contradomínio adequadamente).

Passo 7

  1. Domínio: expressão com valor absoluto bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Então domínio \mathbb{R}.
  2. Análise da imagem: |2x-3|\ge0 sempre e é zero exatamente quando 2x-3=0\Rightarrow x=\tfrac{3}{2}. Assim a imagem é [0,\infty).
  3. Injetividade: não é injetora porque |2x-3|=|2x'-3| pode ocorrer com x\neq x'. Exemplo: f(1)=|2\cdot1-3|=1 e f(2)=|4-3|=1, logo 1 tem pelo menos duas pré-imagens.
  4. Sobrejetividade (contradomínio \mathbb{R}): não é sobrejetora porque valores negativos não são atingidos.
  5. Conclusão: domínio \mathbb{R}; não injetora; não sobrejetora (imagem [0,\infty)).

Passo 8

  1. Domínio: cada valor absoluto está definido para todo x, logo domínio \mathbb{R}.
  2. Pontos que mudam o sinal dentro dos módulos: 2x-3=0\Rightarrow x=\tfrac{3}{2} e -x+1=0\Rightarrow x=1. Vamos dividir em três intervalos e calcular expressão simples em cada um.
Intervalo x<1:
2x-3<0\Rightarrow |2x-3|=3-2x,\qquad -x+1>0\Rightarrow |-x+1|=-x+1.
Logo
f(x)=(3-2x)-(-x+1)=2-x.
Para x<1 esta expressão vai de +\infty (quando x\to-\infty) até 2-1=1 (quando x\to1^-), portanto o intervalo de valores aqui é (1,\infty) — 1 não incluído porque x<1.
Intervalo 1\le x<\tfrac{3}{2}:
2x-3<0\Rightarrow |2x-3|=3-2x,\qquad -x+1\le0\Rightarrow |-x+1|=x-1.
Logo
f(x)=(3-2x)-(x-1)=4-3x.
Em x=1 f(1)=1. Em x\to\left(\tfrac{3}{2}\right)^- f\to 4-3\cdot\dfrac{3}{2}=4-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{1}{2} (não incluído neste subintervalo). Assim valores obtidos são (-\tfrac{1}{2},\,1].
Intervalo x\ge\tfrac{3}{2}:
2x-3\ge0\Rightarrow |2x-3|=2x-3,\qquad -x+1\le0\Rightarrow |-x+1|=x-1.
Logo
f(x)=(2x-3)-(x-1)=x-2.
Em x=\tfrac{3}{2} f=\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{1}{2} (incluído) e quando x\to\infty a expressão tende a +\infty. Portanto valores obtidos são [-\tfrac{1}{2},\infty).
  1. União das imagens nos três intervalos:
(1,\infty)\\ \cup\\ \left(-\tfrac{1}{2},1\right]\\ \cup\\ \left[-\tfrac{1}{2},\infty\right)=\left[-\tfrac{1}{2},\infty\right].
Logo a imagem é \left[-\dfrac{1}{2},\infty\right).
4) Injetividade: não é injetora. Exemplo numérico simples: f(0)=2-0=2 (usar expressão do primeiro caso) e f(4)=4-2=2 (usar expressão do terceiro caso), então f(0)=f(4)=2 com 0\neq4.
5) Sobrejetividade (contradomínio \mathbb{R}): não é sobrejetora, pois valores menores que -\tfrac{1}{2} não são atingidos.
6) Conclusão: domínio \mathbb{R}; imagem \left[-\dfrac{1}{2},\infty\right); nem injetora nem sobrejetora.

Passo 9

Resumo do raciocínio usado: para polinômios e expressões com módulo o domínio é \mathbb{R}; para decidir sobrejetividade calculei a imagem (usando completar o quadrado para quadráticas e análise por partes para as funções com módulos); para decidir injetividade usei argumentos algébricos (igualar valores e ver se força igualdade das abscissas) e dei exemplos concretos mostrando duas pré-imagens distintas quando a função não é injetora. Força, você está indo bem — esses são os passos que costumam cair em prova: domínio → completar quadrado ou análise por partes → testar injetividade com f(x_1)=f(x_2) e testar sobrejetividade encontrando a imagem.

Resposta

(a) Domínio \mathbb{R}. Se \;a\neq0 então injetora e sobrejetora (bijetora). Se \;a=0 então f é constante ( \,f(x)=b\,), não injetora e não sobrejetora (para contradomínio \mathbb{R}).\n
(b) Domínio \mathbb{R}. Imagem [a,\infty). Nem injetora nem sobrejetora (para contradomínio \mathbb{R}).\n
(c) Domínio \mathbb{R}. Imagem \left[-\dfrac{a^{2}}{4},\infty\right). Nem injetora nem sobrejetora.\n
(d) Domínio \mathbb{R}. Imagem \left[b-\dfrac{a^{2}}{4},\infty\right). Nem injetora nem sobrejetora.\n
(e) Domínio \mathbb{R}. Imagem [0,\infty). Nem injetora nem sobrejetora.\n
(f) Domínio \mathbb{R}. Imagem \left[-\dfrac{1}{2},\infty\right). Nem injetora nem sobrejetora.

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