Exercício 12: Identifique o domínio da função e classifique as funções em sobrejetora, injetora e bijetora.
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(e)
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( )
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-
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( )
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(e)
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Referência bibliográfica: Elementar, Editora Atual, São Paulo, SP, 2012.
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( )
(e)
Referência bibliográfica: Elementar, Editora Atual, São Paulo, SP, 2012.
Passo 1
O enunciado pede, para cada função abaixo, que eu identifique (1) o domínio e (2) se a função é injetora, sobrejetora e/ou bijetora (assumindo o contradomínio igual a
, a menos que fique claro outro contradomínio). As funções dadas são:
Informações relevantes já no enunciado: as fórmulas das funções (os parâmetros
são constantes reais não especificadas). Não há figuras nem outras restrições de domínio mencionadas.
Passo 2
Vou lembrar de forma simples e prática o que significa cada termo e como testar:
- Domínio: conjunto de todos os
para os quais a expressão da função está bem definida. Para polinômios e expressões com valor absoluto, o domínio costuma ser . - Injetora (um-para-um):
é injetora se, sempre que então . Teste prático: igualar e ver se isso força para quaisquer . - Sobrejetora (sobre):
é sobrejetora se para todo no contradomínio (aqui assumimos ) existe no domínio com . Teste prático: determinar a imagem/intervalo (range) de ; se for todo , então é sobrejetora. - Bijetora: ambas injetora e sobrejetora.
Vou aplicar essas definições a cada função e mostrar os cálculos passo a passo, com exemplos para verificar injetividade/sobrejetividade.
Passo 3
- Domínio: polinômio de grau 1, então o domínio é
. - Injetividade: suponha
. Subtraindo : . - Se
, então . Logo é injetora quando . - Se
, então (constante) e não é injetora (muitos têm mesma imagem).
- Se
- Sobrejetividade (assumindo contradomínio
): - Se
, dada qualquer existe em tal que . Logo é sobrejetora quando . - Se
, imagem é o conjunto , não é toda , logo não é sobrejetora.
- Se
- Conclusão: quando
a função é injetora e sobrejetora (portanto bijetora). Quando é constante: domínio , não injetora, não sobrejetora (se contradomínio ).
Passo 4
- Domínio: polinômio, logo
. - Determinar a imagem (range):
para todo , então . Assim a imagem é . - Mostro com completar quadrado? Aqui é trivial porque não há termo linear: mínimo em
é .
- Mostro com completar quadrado? Aqui é trivial porque não há termo linear: mínimo em
- Injetividade: não é injetora em
porque (por exemplo ). Logo não injetora. - Sobrejetividade (contradomínio
): como imagem é , não alcança valores menores que . Logo não é sobrejetora para contradomínio . - Conclusão: domínio
; nem injetora nem sobrejetora (exceto se o contradomínio for mudado para , aí seria sobrejetora).
Passo 5
- Domínio: polinômio, então
. - Completar o quadrado para achar o mínimo:
Portanto o mínimo (como coeficiente de
é positivo) é
alcançado em
. Imagem
.
3) Injetividade: não é injetora porque existem pares distintos com mesma imagem. Exemplo simples: tome e
. Então
3) Injetividade: não é injetora porque existem pares distintos com mesma imagem. Exemplo simples: tome
logo
mas
(salvo caso especial
, onde a mesma observação mostra simetria
). Em geral não injetora.
4) Sobrejetividade (contradomínio ): a imagem é
, não toda
. Logo não sobrejetora.
5) Conclusão: domínio ; nem injetora nem sobrejetora.
4) Sobrejetividade (contradomínio
5) Conclusão: domínio
Passo 6
- Domínio: polinômio, logo
. - Completar o quadrado:
Como o coeficiente de
é
, a função tem mínimo igual a
em
. Assim a imagem é
.
3) Injetividade: não é injetora em porque, fora o ponto do vértice, cada valor acima do mínimo tem duas abscissas distintas que o produzem (propriedade típica de parábolas com concavidade para cima). Por exemplo, escolher
e
simétricos em torno do vértice dá
.
4) Sobrejetividade: como imagem é , não é toda
. Logo não sobrejetora.
5) Conclusão: domínio ; nem injetora nem sobrejetora (salvo se redefinirmos o contradomínio adequadamente).
3) Injetividade: não é injetora em
4) Sobrejetividade: como imagem é
5) Conclusão: domínio
Passo 7
- Domínio: expressão com valor absoluto bem definida para todo
. Então domínio . - Análise da imagem:
sempre e é zero exatamente quando . Assim a imagem é . - Injetividade: não é injetora porque
pode ocorrer com . Exemplo: e , logo 1 tem pelo menos duas pré-imagens. - Sobrejetividade (contradomínio
): não é sobrejetora porque valores negativos não são atingidos. - Conclusão: domínio
; não injetora; não sobrejetora (imagem ).
Passo 8
- Domínio: cada valor absoluto está definido para todo
, logo domínio . - Pontos que mudam o sinal dentro dos módulos:
e . Vamos dividir em três intervalos e calcular expressão simples em cada um.
Intervalo
:
Logo
Para
esta expressão vai de
(quando
) até
(quando
), portanto o intervalo de valores aqui é
— 1 não incluído porque
.
Intervalo
:
Logo
Em
dá
. Em
dá
(não incluído neste subintervalo). Assim valores obtidos são
.
Intervalo
:
Logo
Em
dá
(incluído) e quando
a expressão tende a
. Portanto valores obtidos são
.
- União das imagens nos três intervalos:
Logo a imagem é
.
4) Injetividade: não é injetora. Exemplo numérico simples: (usar expressão do primeiro caso) e
(usar expressão do terceiro caso), então
com
.
5) Sobrejetividade (contradomínio ): não é sobrejetora, pois valores menores que
não são atingidos.
6) Conclusão: domínio ; imagem
; nem injetora nem sobrejetora.
4) Injetividade: não é injetora. Exemplo numérico simples:
5) Sobrejetividade (contradomínio
6) Conclusão: domínio
Passo 9
Resumo do raciocínio usado: para polinômios e expressões com módulo o domínio é
; para decidir sobrejetividade calculei a imagem (usando completar o quadrado para quadráticas e análise por partes para as funções com módulos); para decidir injetividade usei argumentos algébricos (igualar valores e ver se força igualdade das abscissas) e dei exemplos concretos mostrando duas pré-imagens distintas quando a função não é injetora. Força, você está indo bem — esses são os passos que costumam cair em prova: domínio → completar quadrado ou análise por partes → testar injetividade com
e testar sobrejetividade encontrando a imagem.
Resposta
(a) Domínio
. Se
então injetora e sobrejetora (bijetora). Se
então
é constante (
), não injetora e não sobrejetora (para contradomínio
).\n
(b) Domínio . Imagem
. Nem injetora nem sobrejetora (para contradomínio
).\n
(c) Domínio . Imagem
. Nem injetora nem sobrejetora.\n
(d) Domínio . Imagem
. Nem injetora nem sobrejetora.\n
(e) Domínio . Imagem
. Nem injetora nem sobrejetora.\n
(f) Domínio . Imagem
. Nem injetora nem sobrejetora.
(b) Domínio
(c) Domínio
(d) Domínio
(e) Domínio
(f) Domínio